Përdoruesi:Hipi Zhdripi/shkresa për punë/3/1

0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|20|22|

10

Meqë vlerat e saktësisë së gjykimeve p, qmund të jenë$\scriptstyle \top$ose$\scriptstyle {\bot }$, tabela e saktësisë së konjuksionit mund të shkruhet më shkurt kështu : $\scriptstyle \land$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$        S h e m b u l l i  2. - Le të jenë p, qkëto dy gjykime p: Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta; dhe q: Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë paralele. Konjuksioni i tyre do të jetë : p$\scriptstyle \land$q: Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta dhe paralele.        S h e m b u l l i  3. - Le të jenë gjykimet : p : (15, 7)$\scriptstyle {=}$1dhe q :1 > - 2. Të formohet konjuksioni dhe të gjendet vlera e tij.        Z g j i d h j e : p$\scriptstyle \land$q :(15, 7)$\scriptstyle {=}$1$\scriptstyle \land$1> - 2, v(p$\scriptstyle \land$q)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$ , sepse v((15, 7)$\scriptstyle {=}$1)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$ dhe v (1 > - 2)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$ .        Konjuksioni është një veprim binar, megë lidh dy gjykime dhe si rezultat jep një gjykim të tretë, konjuksionin e tyre.        Përkufizimi i konjuksionit të dy gjykimeve lehtë mund të zgjerohet edhe në rastin e n gjykimeve (n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$, n$\scriptstyle \geqslant$2). Prej përkufizimit të konjuksionit dalin këto dy ligje të rëndësishme të logjikës së gjykimeve: p$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle \Leftrightarrow$p, dhe p$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle \Leftrightarrow$q$\scriptstyle \land$p... (2) ligji i idempotencës dhe ai i komutacionit . Saktësinë e tyre e provojmë duke formuar tabelën e saktësisë për secilën formulë. P.sh. për të provuar ligjin e komutacionit formojmë këtë tabelë : p q p$\scriptstyle \land$q q$\scriptstyle \land$p $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$        Vlerat e rrethuaranë dy shtyllat e fundit të tabelës tregojnë se gjykimet p$\scriptstyle \land$q, q$\scriptstyle \land$pkanë një vlerë të njëjtë të saktësisë, andaj themi se janë ekuivalente. 1 .2.3. DISJUNKSIONI I GJYKIMEVE        Kur gjykimi përbërë formohet prej dy gjykimeve çfarëdo me ndihëmen e lidhëzës „ose" thuhet se ajo lidhëz përcakton veprimin logjik që quhet disjunkston . Mirëpo, në gjuhën e zakonshme lidhëzja "ose" i ka dy kuptime - kuptimin inkluziv dhe atë eksluziv - , andaj duhet dalluar dy raste të posaçme të disjunksionit - disjunksionin e thjeshtë (zakonshëm, inkluziv) dhe disjunksionin ekskluziv (rigoroz) . Lidhëzja "ose" perdoret në kuptimin inklu -

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

11

ziv, kur nuk përjashtohet mundësia e saktësisë së njëkohshme e të dy gjykimeve, kurse ajo përdoret në kuptimin ekskluziv pikërisht kur përjashtohet ajo mundësi. Kështu b.f. në gjykimin e përbërë : "Trekëndëshi ABCështë kënddrejtë ose dybrinjënjëshëm", lidhëzja „ose" e ka kuptimin inkluziv, sepse trekëndëshi në fjalë ABCnë të vërtetë mund të jetë : (a1) kënddrejtë e brinjëndryshëm, (a2) këndpjerrët e dybrinjënjëshëm, ose (a3) kënddrejtë e dybrinjënjëshëm. Pra, këtu nuk përjashtohet mundësia që trekëndëshi në fjalë të jetë njëherit edhe kënddrejtë edhe i dybrinjënjëshëm . Ndërkaq, në gjykimin „Numri natyral nështë çift ose tek", lidhëzja,, ose" ka kuptimin ekskluziv - këtu përjashtohet mundësia që numri në fjalë ntë jetë njëherit edhe çift edhe tek. Pra, kuptimi ekskluziv i lidhëzës "ose" në të vërtetë e ka domethënien "ose . . . . . . ose". Duke pasur parasysh këto, themi :        P ë r k u f i z i m i  1.2.3.1. - Disjunksioni (inkluziv) i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p$\scriptstyle \lor$q (lexo : p ose q ). i cili është i saktë kur është i saktë së paku njëri nga gjykimet p, q.        Simboli$\scriptstyle \lor$është shenja e disjnnksionit. Tabela e saktësisë së disjunksionit duket kështu : v (p) v (q) v (p$\scriptstyle \lor$q) ose më shkurt $\scriptstyle \lor$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$        S h e m b u l l i  4 - Të provohet barazia v($\scriptstyle {\lnot }$(pvq) )$\scriptstyle {=}$v($\scriptstyle {\lnot }$p$\scriptstyle \lor$$\scriptstyle {\lnot }$q ).        Z g j i d h i e : Barazinë e dhënë e provojmë duke formuar tabelën: p q p$\scriptstyle \lor$q $\scriptstyle {\lnot }${p$\scriptstyle \lor$q} $\scriptstyle {\lnot }$p $\scriptstyle {\lnot }$q $\scriptstyle {\lnot }$p$\scriptstyle \land$$\scriptstyle {\lnot }$q $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$        Vlerat e rrethuara, në shtyllën e katërt dhe në atë të fundit të tabelës tregojnë se barazimi i dhënë është i saktë.        Kuptohet, edhe disjunksioni është veprirn binar, ku vlen ligji i idempotencës dhe i komutacionit: p$\scriptstyle \lor$q$\scriptstyle \Leftrightarrow$p, p$\scriptstyle \lor$q$\scriptstyle \Leftrightarrow$q$\scriptstyle \lor$p.(...3)        P ë r k u f i z i m i  1.2.3.2. - Disjunksioni ekskluzi i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p$\scriptstyle {\underline {\lor }}$q (lexo : ose p ose q) i cili është i saktë kur është i saktë vetëm njëri nga gjykimet p, q .        Simboli$\scriptstyle {\underline {\lor }}$është shenja e disjunkstonit ekskluziv.

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

12

Tabela e saktësisë është v (p) v (q) v (p$\scriptstyle {\underline {\lor }}$q) ose më shkurt $\scriptstyle {\underline {\lor }}$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ 1. 2. 4. IMPLIKACIONI I GJYKIMEVE        Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy gjykimeve tjera me ndihmën e lidhëzës "nëse . . ., atëherë . . .", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet implikacion . Gjykimi që pason pas fjalës "nëse" quhet supozim (hipotezë, premisë), ndërsa gjykimi pas fjalës "atëherë" quhet konkluzion (tezë, pasojë). Kuptohet, hipoteza është fundamenti në të cilën rëndom bazohet konkluzioni. Kështu është rasti, p .sh. në implikacionet :         p : Nëse n$\scriptstyle \in$N, atëherë n2$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$;         q : Nëse a < 0 dhe b < 0, atëherë a • b > 0;         r : Nëse n$\scriptstyle {=}$5, atëherë (n2 + 5n - 1)$\vdots$7;         s : Nëse x$\scriptstyle {=}$6, atëherë log (3x2 - 8)$\scriptstyle {=}$2 .        P ë r k u f i z i m i  1.2.4.1. - Implikacioni i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p $\scriptstyle {\Rightarrow }$ q (lexo : nëse p, atëherë q ose nga p rrjedh q ose p implikon q), i cili është jo i saktë kur p është i saktë e q jo i saktë.        Simboli$\scriptstyle {\Rightarrow }$është shenja e implikacionit. Tabela e saktësisë së implikacionit është: v (p) v (q) v (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q) ose më shkurt $\scriptstyle {\Rightarrow }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$        S h e m b u l l i  5. - Le të jenë gjykimet : p: $\scriptstyle {\mathsf {\sqrt {2}}}$$\scriptstyle {=}$1, 5 dhe q : ${\pi }\,\!$$\scriptstyle \approx$3, 14. Të caktohen saktësisë e implikacioneve : p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q, p$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$q, q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p, q$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$p.        Z g j i d h j e : Meqë v (p)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\bot }$, v (q)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$ do të kemi: v (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$, v (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$q)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$, v (q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\bot }$, v (q$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$p)$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \top$ .        Duhet theksuar se me negacionin, konjuksionin dhe disjunksionin mund të lidhen në mes tyre dy gjykime çfarëdo, plotësisht të pavarura, kurse në implikacionin e gjykimeve vlera e saktësisë së gjykimit të parë mund të influencojë në vlerën e saktësisë së gjykimit tjetër.

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

13

S h e m b u l l i  6. - Le të jenë p, q këto dy gjykime:         p: Numri natyral nplotpjesëtohet me 10;         q: Numri natyral nplotpjesëtohet me 5.        Implikacioni i tyre do të jetë :         p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q: Nëse n$\vdots$10, atëherë n$\vdots$5.        Kuptohet, këtu vlera e saktësisë së gjykimit qvaret prej saktësisë së gjykimit p. Nga ky shembull mund të vërehet edhe fakti se implikacioni është një veprim binar jokumutativ, sepse në rastin e përgjithshëm v(p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \neq$q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p).        Për implikacionin p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q, implikacioni q$\scriptstyle {\Rightarrow }$pquhet i | anasjelltë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        V ë r e j t j e : Rast i veçantë i implikacionit është | konsekuenca=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] - kur prej gjykimit plogjikisht rrjedh gjykimi q, i cili është i saktë vetëm kur pështë i saktë . Raste të këtlla paraqiten në mes të teoremave matematike dhe konsekuencave të tyre, sikurse edhe në mes të supozimeve të teoremave dhe konkludimeve të tyre. Në këto raste implikacioni p$\scriptstyle {\Rightarrow }$qlexohet edhe kështu : pështë kusht i mjaftueshëm për q; qështë kusht i nevojshëm për p; qështë rrjedhim i q; etj. Fakti se prej gjykimit plogjikisht nuk rrjedh gjykimi q, shënohet p$\scriptscriptstyle {\not \Rightarrow }$q.        S h e m b u l l i  7. - Le të jetë gjykimi p : a > 0$\scriptstyle \land$b > 0. Si konsekuencë e gjykimit pmund të nxirret gjykimi q:ab>0, d.m.th. : a>0$\scriptstyle \land$b>0$\scriptstyle {\Rightarrow }$ab>0.        Mirëpo, e anasjellta nuk vlen (q$\scriptstyle {\not \Rightarrow }$p), sepse qështë vetëm kusht i nevojshëm (por jo i mjaftueshëm) për p, pra : ab>0 $\scriptstyle {\not \Rightarrow }$ a>0$\scriptstyle \land$b>0. 1.2.5. EKUIVALENCA E GJYKIMEVE        Kur gjykimi i përbërë formohet nga dy (ose më shumë) gjykime të tjera me ndihmën e fjalëve (shprehjeve) „| nëse dhe vetëm nëse=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]", „| atëherë dhe vetëm atëherë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]", „| e nevojshme dhe e mjaftueshme=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]", thuhet se përcaktohet me veprimin e ekuivalencës .        P ë r k u f i z i m i  1.2.5.1. - Ekuivalenca e gjykimeve p, q quhet gjykimi p$\scriptstyle \Leftrightarrow$q (lexo : p ekuivalent q), i cili është i saktë kur të dy gjykimet p, q janë të sakta ose janë jo të sakta.        Simboli$\scriptstyle \Leftrightarrow$është shenja e ekuivalencës. Tabela e saktësisë se ekuivalencës është : v (p) v (q) v (p$\scriptstyle \Leftrightarrow$q) ose më shkurt $\scriptstyle \Leftrightarrow$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

14

Kur krahasohen tabelat e saktësisë së implikacioneve p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q, q$\scriptstyle {\Rightarrow }$pdhe e ekuivalencës p$\scriptstyle \Leftrightarrow$q, lehtë mund të shihet ligji logjik, i cili shpreh lidhjen në mes këtyre gjykimeve: (p$\scriptstyle \Leftrightarrow$q)(p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p)(...4) respektivisht del: v (p) v (q) v (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q) v (q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p) v (q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p)$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p) v (q$\scriptstyle \Leftrightarrow$p) $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$        Pra, ekuivalenca p$\scriptstyle \Leftrightarrow$qnë të vërtetë është implikacion i dyfishtë (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q, q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p), andaj ajo është veprim | binar komutativ=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        S h e m b u l l i  8. - Nëse x1, x2 janë zerot e trinomit t(x)$\scriptstyle {=}$ax2 + bx + c, a$\scriptstyle \neq$0(d.m.th. t(x1)$\scriptstyle {=}$0, t(x2)$\scriptstyle {=}$0), atëherë gjykimet p: x1$\scriptstyle \neq$x2 dhe q: b2 - 4ac$\scriptstyle \neq$0janë ekuivalente: x1$\scriptstyle \neq$x2$\scriptstyle \Leftrightarrow$b2 - 4ac$\scriptstyle \neq$0, sepse : p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q dhe q$\scriptstyle {\Rightarrow }$p. 1 .3. LIGJET E LOGJIKËS SË GJYKIMEVE        Kur në gjykime p, q, r, . . . veprojmë me veprime themelore logjike :$\scriptstyle {\lnot }$, $\scriptstyle \land$, $\scriptstyle \lor$, $\scriptstyle {\underline {\lor }}$, $\scriptstyle {\Rightarrow }$, $\scriptstyle \Leftrightarrow$marrim | gjykime të përbëra=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] të trajtave: $\scriptstyle {\lnot }$p, p$\scriptstyle \land$q, p$\scriptstyle \lor$q, p$\scriptstyle {\underline {\lor }}$q, p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q, p$\scriptstyle \Leftrightarrow$q, p$\scriptstyle \land$$\scriptstyle {\lnot }$q, p$\scriptstyle \lor$$\scriptstyle {\lnot }$p, (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \land$$\scriptstyle {\lnot }$q$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$p, (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \Leftrightarrow$($\scriptstyle {\lnot }$q$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$p), etj. të cilat quhen | formula gjykimesh=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] . Vlera e saktësisë së një formule gjykimesh provohet duke formuar tabelen e saktësisë së veprimeve themelore logjike.        S h e m b u l l i  9. - Të provohet saktësia e formulës (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \Leftrightarrow$($\scriptstyle {\lnot }$p$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$q), e cila shpreh | ligjin e kontrapozicionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        Z g j i d h j e : Nga tabela e formuar p q p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q $\scriptstyle {\lnot }$q $\scriptstyle {\lnot }$p $\scriptstyle {\lnot }$q$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$p (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \Leftrightarrow$($\scriptstyle {\lnot }$q$\scriptstyle {\Rightarrow }$$\scriptstyle {\lnot }$p) $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ shihet se formula e dhënë është e saktë.

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

15

Formulat e gjykimeve të cilat janë të sakta për çdo vlerë të gjykimeve fillestare quhen | tautologji=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ose | ligje logjike=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Kur ndonjë formulë gjykimesh është tautologji, para saj shënohet simboli.        S h e m b u l l i  10. - Të provohet tautologjia {(p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)}$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle {\Rightarrow }$r)(p$\scriptstyle {\Rightarrow }$r), e cila shpreh ligjin logjik të quajtur | rregulla e silogjizmit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        Z g j i d h j e : Nga tabela e formuar : p q r p$\scriptstyle {\Rightarrow }$r q$\scriptstyle {\Rightarrow }$r (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle {\Rightarrow }$r) p$\scriptstyle {\Rightarrow }$r (p$\scriptstyle {\Rightarrow }$q)$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle {\Rightarrow }$r)$\scriptstyle {\Rightarrow }$(p$\scriptstyle {\Rightarrow }$r) $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle {\bot }$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ $\scriptstyle \top$ konkludohet se rregulla e silogjizmit është e saktë për çdo vlerë të gjykimeve fillestare, andaj ajo është tautologji .        Tautologji janë edhe formulat :         (a1) (p$\scriptstyle \land$q)$\scriptstyle \land$r$\scriptstyle \Leftrightarrow$p$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle \land$r);         (a2) (p$\scriptstyle \lor$q)$\scriptstyle \lor$r$\scriptstyle \Leftrightarrow$p$\scriptstyle \lor$(q$\scriptstyle \lor$r);         (a3) p$\scriptstyle \land$(q$\scriptstyle \lor$r)$\scriptstyle \Leftrightarrow$(p$\scriptstyle \land$q)$\scriptstyle \lor$(p$\scriptstyle \land$r);         (a4) p$\scriptstyle \lor$(q$\scriptstyle \land$r)$\scriptstyle \Leftrightarrow$(p$\scriptstyle \lor$q)$\scriptstyle \land$(p$\scriptstyle \lor$r); që shprehin ligjet se veprimet$\scriptstyle \land$, $\scriptstyle \lor$janë asocijative dhe ato janë distributive njëri ndaj tjetrit. 1.4. KUAKTIFIKATORËT        Kemi përmendur se me metodën e zëvendësimit funksionet e gjykimeve F1(x), F2(x, y), F3(x, y, z), . . .shndërrohen në gjykime . Mirëpo, tani do të shohim se ato shndërrohen në gjykime edhe duke përdorur kuantifikatorët$\scriptstyle {\forall }$dhe$\scriptstyle {\exists }$, të cilëve u përgjigjen fjalët "| çdo=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]" ("| secili=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]") dhe "| ekziston=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]" ("| ndonjë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]", "| së paku një=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]"). Simboli$\scriptstyle {\forall }$quhet | kuantifikator universal=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (i përgjithshëm), ndërkaq$\scriptstyle {\exists }$| kuantifikator i ekzistimit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        Të marrim, për shembull, këto funksione gjykimesh :        (a1) Çdo dy numra natyralë të njëpasnjëshëm janë relativisht të thjeshtë;        (a2) Shuma e çdo dy numrave natyralë është numër natyral;        (a3) Ndonjë numër natyral është zgjidhja e inekuacionit 2x + 5<12;        (a4) Për secilin numër të plotë mund të gjendet së paku një numër tjetër i plotë, ashtu që shuma a tyre të jetë 5.

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

16

Kur në këto funksione gjykimesh përdorim kunatifikatorët$\scriptstyle {\forall }$dhe$\scriptstyle {\exists }$ato marrin trajtën e formulave :        (a1) ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$)(x, x + 1)$\scriptstyle {=}$1;        (a2) ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$)($\scriptstyle {\forall }$y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) x + y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$ ose ($\scriptstyle {\forall }$x, y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) x + y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$ ;        (a3) ($\scriptstyle {\exists }$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) 2x + 5<12;        (a4) ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$)($\scriptstyle {\exists }$y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$) x + y$\scriptstyle {=}$5; të cilat në të vërtetë janë gjykime të sakta.        Prej këtyre shembujve mund të konkludojmë se në përgjithësi për të shndërruar funksionet e gjykimeve F1(x), F2(x, y), F3(x, y, z)në gjykime duhet të përdoren aq kuantifikatorë, sa variabla përmbajnë ato funksione. Kështu funksioni F (x, y)shndërrohet në gjykim në këto raste :        (1) ($\scriptstyle {\forall }$x, y) F(x, y); (2) ($\scriptstyle {\exists }$x)($\scriptstyle {\forall }$y) F(x, y);        (3) ($\scriptstyle {\exists }$y)($\scriptstyle {\forall }$x) F(x, y); (4) ($\scriptstyle {\exists }$x, y) F(x, y).        Të përmendim se shpesh përdoret edhe një kuantifikator i posaçëm i ekzistimit - | kuantifikatori i ekzistimit ekskluziv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] i cili shënohet me$\scriptstyle {\exists !}$dhe lexohet : | ekziston vetëm një=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Kështu p.sh . në gjykimet : (1) ($\scriptstyle {\exists !}$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) 2x + 7 ${>}$ 10, (2) ($\scriptstyle {\forall }$x, y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$)($\scriptstyle {\exists !}$z$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$) x + y + z$\scriptstyle {=}$1posaçërisht theksohet se ekziston vetëm një numër natyral, respektivisht vetëm një numër i plotë i cili e plotëson relacionin përkatës, d.m.th. për të cilin formula përkatëse bëhet gjykim i saktë. E dimë se vlera e panjohurës xpër të cilën ekuacioni (barazimi) f(x)$\scriptstyle {=}$0, respektivisht inekuacioni (jobarazimi) f(x) ${>}$ 0bëhet gjykim i saktë quhet | zgjidhja=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (ose rrënja) e ekuacionit, respektivisht inekuacionit. 2. BASHKËSITË DHE VEPRIMET ME BASHKËSI 2.1. KUPTIMI I BASHKËSISË DHE I NËNBASHKËSISË        Bashkësia është një koncept themelor i matematikës bashkëkohore. Zakonisht thuhet se | bashkësinë e përbëjnë një sërë objektesh me veti të përbashkëta=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Objektet që e përbëjnë bashkësinë quhen | elemente=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Bashkësitë emërtohen me germa të mëdha të alfabetit, p.sh.: A, B, C, . . ., X, Y, . . .,kurse elementet me germa të vogla, p.sh.: a, b, c, . . ., x, y, . . . .        Në matematikë bashkësië caktohen në dy mënyra:        (1) me numërimin e të gjitha elementeve A$\scriptstyle {=}${a1, a2, a3, . . ., an } ose (...5)        (2) me përshkrimin e vetive karakteristike të elementeve: A$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$F(x)} .(...6)

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

17

Në formulën e fundit F(x)paraget një funksion gjykimesh me variablen x, kurse Abashkësinë e elementeve të atilla që kur cilido prej tyre zëvendësohet në F(x)e shndërron atë në gjykim të saktë.        Me formulën a$\scriptstyle \in$Apërcaktohet se aështë element i bashkësisë A ( ai përket bashkësisë A) dhe quhet | relacion i përkatshmërisë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Negacioni i këtij relacioni shënohet : b$\scriptstyle \not \in$Aose $\scriptstyle {\lnot }$(b$\scriptstyle \in$A). Bashkësia që nuk e përmban asnjë element quhet | bashkësi e zbrazët=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (vakante) dhe shënohet me simbolin$\scriptstyle {\varnothing }$. P.sh. bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit x2 + 1$\scriptstyle {=}$0në fushën e numrave realë është bashkësi e zbrazët. Në matematikë rëndom shqyrtohen bashkësitë elementet e të cilave janë objekte matematikore. Bashkësitë që kanë për objekte (elemente) numra të ndryshëm quhen | bashkësi numerike=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Bashkësitë më të rëndësishme numerike janë:        (1) Bashkësia e numrave natyralë : $\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle {=}${ 1, 2, 3, . . ., n, n + 1, . . . };        (2) Bashkësia e numrave të plotë : $\scriptstyle \mathbb {Z}$$\scriptstyle {=}${ . . ., - 2, - 1, 0, 1, 2, . . . };        (3) Bashkësia e numrave racionalë : $\scriptstyle \mathbb {Q}$$\scriptstyle {=}$${\{}\scriptstyle {p \over q}$$\scriptstyle \mid$p$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$, q$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$$\displaystyle {\}}$ :        (4) Bashkësia e numrave realë : $\scriptstyle \mathbb {R}$$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$ - $\scriptstyle {\infty }$< x < + {{infinit} }};        (5) Bashkësia e numrave kompleksë :{{mate|$\scriptstyle \mathbb {C}$$\scriptstyle {=}${x + i| y$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$, y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$, i$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ };=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]        (6) Bashkësia e numrave çiftë (parë) : $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle {=}${n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle \land$n$\vdots$2};        (7) Bashkësia e numrave tekë (cupë) : $\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$$\scriptstyle {=}${n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle \land$n$\not \vdots$2}.        P ë r k u f i z i m i  2.1.1. - Bashkësia A quhet nënbashkësi e bashkësisë B, nëse çdo element i bashkësisë A është njëherit element edhe i bashkësisë B(fig. 1.1.), pra: AB($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$A):x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$B,(...7) ku simbolilexohet: sipas përkufzimit atëherë dhe vetëm atëherë.        Formula ABquhet | relacioni i inkluzionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ose i përfshirjes, simboliështë shenja e atij relacioni. Sinonim i relacionit ABështë AB, ku Bështë mbibashkësi e bashkësisë A.        Nga përkufizimi 2.1.1. dalin këto dy inkluzione: AA dhe$\scriptstyle {\varnothing }$A(...8) për çdo bashkësi A.        Kur AAdhe $\scriptstyle {\exists }$x$\scriptstyle \in$Bashtu që x$\scriptstyle \not \in$A, thuhet se Aështë | nënbashkësi (pjesë) e vërtetë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e bashkësisë Bdhe shënohet AB. Negacioni i këtij relacioni shënohet AB. P.sh.: $\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle \mathbb {Z}$, $\scriptstyle \mathbb {Z}$$\scriptstyle \mathbb {Q}$, $\scriptstyle \mathbb {Q}$$\scriptstyle \mathbb {R}$, $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle \mathbb {N}$, $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$, {a, b, c}{a, b, d, e, f} .

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

18

P ë r k u f i z i m i  2.1.2. - Bashkësia e pjesëve të bashkësisë A quhet bashkësia e të gjitha nënbashkësive të bashkësisë A, pra : | Figura:Nënbashkësia AB.PNG=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] Fig. 1.1. P(A){X$\scriptstyle \mid$XA} . (...9)        Në bazë të këtij përkufizimi mund të konkludohet se bashkësia dhe elementi janë koncepte relative - Amund të konsiderohet si bashkësi të elementeve të caktuara A$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$F(x)} , por edhe si element i bashkësisë së caktuar A$\scriptstyle \in$P(A).        Nëse bashkësia Aështë e fundme dhe ka nelemente, atëherë bashkësia P(A) ka $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$$\scriptstyle {=}$2n elemente.        P ë r k u f i z i m i  2.1.3. - Dy bashkësi A, B janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur AB dhe BA , pra : A$\scriptstyle {=}$BAB$\scriptstyle \land$BA. (...10)        Për shembull: {a, b, c}$\scriptstyle {=}${b, a, c} . 2.2. VEPRIMET ME BASHKËSI        P ë r k u f i z i m i  2.2.1. - Prerja e bashkësive A. B quhet bashkësia e të gjitha e1ementeve të përbashkëta të bashkëswe A, B(fig. 1.2.), pra : | Figura:Prerja e bashkësive AB.PNG=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] Fig. 1.2. A$\scriptstyle {\cap }$B{x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \in$B} . (...11)        Simboli$\scriptstyle {\cap }$(lexo: | prerja=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ose | itersekston=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) është | shenja e veprimit të prerjes (interseksiont)=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        P.sh. : {1, 3, 4, 6}$\scriptstyle {\cap }${2, 3, 5, 6, 8}$\scriptstyle {=}${ 3, 6 } .        Në bazë të përkutizimit 2.2.1 . del se A$\scriptstyle {\cap }$$\scriptstyle {\varnothing }$$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\varnothing }$ për çfarëdo bashkësi A. Për çfarëdo dy bashkësi A, Bkemi inkluzionet: A$\scriptstyle {\cap }$BAdhe A$\scriptstyle {\cap }$BB.        Kur AB, atëherë A$\scriptstyle {\cap }$B$\scriptstyle {=}$A. Kur ABdhe AC, atëherë AB$\scriptstyle {\cap }$C.        Nëse A$\scriptstyle {\cap }$B$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\varnothing }$ , thuhet se bashkësitë A, Bjanë | disjunkte=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >

19

Përkufizimi i prerjes së dy bashkësive mund të zgjerohet në prerjen e më shumë bashkësive, kështu bie fjala kemi: A$\scriptstyle {\cap }$B$\scriptstyle {\cap }$C{x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \in$B$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \in$C} . (...12)        Prerja e nbashkësive A1, A2, A3, . . ., An shënohet me simbolin $\bigcap _{i=1}^{n}$Ak (lexo: prerja Ak, k prej 1 deri në n), pra: A1$\scriptstyle {\cap }$A2$\scriptstyle {\cap }$A3$\scriptstyle {\cap }$. . .$\scriptstyle {\cap }$An$\scriptstyle {=}$$\bigcap _{i=1}^{n}$Ak.        P ë r k u f i z i m i  2.2.2. - Unioni i bashkësive A, B quhet bashkësia që përmban elementet që janë në bashkësinë A ose në bashkësinë B(fig. 1.3.), pra: | Figura:Unioni i bashkësive AB.PNG=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] Fig. 1.3. A$\scriptstyle {\cup }$B{x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \lor$x$\scriptstyle \in$B}.(...13)        Simboli$\scriptstyle {\cup }$(lexo: | HZM3F=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) është | shenja e veprimit të unionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        P.sh.: {1, 2, 3}$\scriptstyle {\cup }${2, 3, 4, 5}$\scriptstyle {=}${1, 2, 3, 4, 5}.        Në bazë të përkufizimit 2.2.2. del se A$\scriptstyle {\cup }$$\scriptstyle {\varnothing }$$\scriptstyle {=}$Apër çfarëdo bashkësi A. Për çfarëdo dy bashkësi A, B kemi inkluzionet: AA$\scriptstyle {\cup }$Bdhe BA$\scriptstyle {\cup }$B. Kur ABatëherë A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {=}$B. Kur AC dhe BC, A$\scriptstyle {\cup }$BC.        Unioni i tri bashkësive përkufizohet me formulën: A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {\cup }$C{x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \lor$x$\scriptstyle \in$B$\scriptstyle \lor$x$\scriptstyle \in$C}.(...14)        Unioni i nbashkësive A1, A2, A3, . . ., An shënohet me simbolin $\bigcup _{i=1}^{n}$Ak (lexo : union Ak, k prej 1 deri në n), pra: A1$\scriptstyle {\cup }$A2$\scriptstyle {\cup }$A3$\scriptstyle {\cup }$. . .$\scriptstyle {\cup }$An$\scriptstyle {=}$$\bigcup _{i=1}^{n}$Ak.        Ligjet themelore të veprimeve$\scriptstyle {\cap }$, $\scriptstyle {\cup }$janë :         (a1)   A$\scriptstyle {\cap }$A$\scriptstyle {=}$A,   A$\scriptstyle {\cup }$A$\scriptstyle {=}$A,   (ligji i idempotencës)         (a2)   A$\scriptstyle {\cap }$B$\scriptstyle {=}$B$\scriptstyle {\cap }$A,   A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {=}$B$\scriptstyle {\cup }$A   (ligji i komutacionit)         (a3)   (A$\scriptstyle {\cap }$B)$\scriptstyle {\cap }$C$\scriptstyle {=}$A$\scriptstyle {\cap }$(B$\scriptstyle {\cap }$C)   (A$\scriptstyle {\cup }$B)$\scriptstyle {\cup }$C$\scriptstyle {=}$A$\scriptstyle {\cup }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)    (ligji asociativ)

< 0 faqe - 1 - 2 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 0 faqe - 1 - 2 >