P ë r k u f i z i m i  5.1.5. - Grupoidi (A, o) quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar është asociativ.
        P.sh. : ( , + ), ( , .), ( , + ), (A, .) ku A { - 1, 1 - i, i}, i janë semigrupe.
       P ë r k u f i z i m i  5.1.6. - Elementi e A quhet element neutral për veprimin në bashkësinë A, nëse vlen :
a A a e e a a (...49)
        Elementi neutral e quhet edhe element njësi. Në bashkësinë elementi neutral për mbledhjen është 0 (zero), ndërkaq për shumëzimin është 1 . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik f :x→x x, x A . Grupoidi ( , +) nuk ka elementin neutral.
       T e o r e m a  5.1.1. -  Nëse grupoidi (A, ) përmban elementin neutral, ai është i vetmi.
       V ë r t e t i m Le të supozojmë të kundërtën - se në (A, ) ekzistojnë dy elemente neutrale e1 , e2 (el e2 ) për veprimin binar . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari e me e1 , a me e2 dhe së dyti e me e2 , a me el përftojmë :
e2 el el e2 el dhe el e2 e2 el el ,
prej kah rezulton se el e2 . Pra, konkludojmë se grupoidi (A, ) nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin o .
       P ë r k u f i z i m i  5.1.7. - Kur semigrupi (A, ) përmban elementin neutral e , elementi b A quhet element invers i elementit a A në lidhje me veprimin , nëse vlen :
a b b a e . (...50)
P.sh.,
        Elementi invers i elementit a rëndom shënohet me a-1 . P.sh., në semigrupin ( , +) me elementin neutral 0 , për cilindo element a elementi invers është numri i kundërt (-a) , ndërkaq në semigrupin ( , .) , përveç elementeve -1 dhe 1 , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin ( , .) me elementin neutral 1 , për cilindo element a Q , elementi invers është numri reciprok .
       T e o r e m a  5.1.2. -  Nëse semigrupi (A, ) për elementin a A përmban elementin invers a-1 A , ai është i vetmi.
       V ë r t e t i m : Le të supozojmë të kundërtën - se b1 , b2 janë dy elemente inverse të elementit a A . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari b me b1 , së dyti b me b2 përftojmë :
a b1 b1 a e dhe a b2 b2 a e .
Meqë a b1 e dhe veprimi është asociativ, kemi:
b2 (a b1 ) b2 dhe b2 (a b1 ) (b2 a) b1 e b1 b1
d.m.th. se b1 b2 , çka duhej vërtetuar.


< 1037
faqe
- 1038 -

1039 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1037
faqe
- 1038 -

1039 >