Hipi Zhdripi i Matematikës/1263

P ë r k u f i z i m i 2.7.1.4. - Pika $a$ quhet pikë thelbësore e këputjes së llojit të dytë, nëse në pikën $a$ ose nuk ekziston ose është i pafundëm të paktën një limit i njëanshëm i funksionit $y=f(x)$ .[1] S h e m b u l l i 33. - Të shqyrtohet vazhdueshmëria e funksionit $y={\frac {{\sqrt {x+15}}-3}{x^{2}-36}}$ . Z g j i d h j e : Ky funksion është i vazhdueshëm në intervalin $[-15,+\infty )$ , përpos në pikat $x=6$ dhe $x=-6$ . Së pari funksionin e dhënë e transformojmë në trajtën: ${\frac {{\sqrt {x+15}}-3}{x^{2}-36}}\!=\!{\frac {x+6}{(x^{2}-36)({\sqrt {x+15}}+3)}}\!=\!{\frac {1}{(x-6)({\sqrt {x+15}}+3)}}$ nga del: ${\underset {x\to 6^{+0}}{\lim }}{\frac {{\sqrt {x+15}}-3}{x^{2}-36}}={\underset {x\to 6^{+0}}{\lim }}{\frac {1}{(x-6)({\sqrt {x+15}}+3)}}=+\infty$ kurse ${\underset {x\to 6^{-0}}{\lim }}{\frac {{\sqrt {x+15}}-3}{x^{2}-36}}={\underset {x\to 6^{-0}}{\lim }}{\frac {1}{(x-6)({\sqrt {x+15}}+3)}}=-\infty$ Pra, nuk ekziston limiti i këtij funksioni në pikën $x=6$ . Kjo pikë është pika thelbësore e këputjes së Ilojit të dytë të këtij funksioni. Ndërkaq, pasi: ${\underset {x\to -6}{\lim }}{\frac {{\sqrt {x+15}}-3}{x^{2}-36}}={\underset {x\to -6}{\lim }}{\frac {1}{(x-6)({\sqrt {x+15}}+3)}}=-{\frac {1}{72}}$ dhe ngase funksioni i dhënë nuk është i përkufizuar në pikën $x=-6$ , konkludojmë se $x=-6$ është një pikë e mënjanueshme e këputjes së këtij funksioni. Kur ligjin e varësisë funksionale të këtij funksioni e zgjerojmë dhe këtë e përkufizojmë me relacionin: $y={\begin{cases}{\frac {{\sqrt {x+15}}-3}{x^{2}-36}}&,\ -15\leqslant x<+\infty ,\ x\neq -6\\-{\frac {1}{72}}&,\ x=-6\end{cases}}$ atëherë ky funksion është i vazhdueshëm në pikën $x=-6$ . 2.7.2. VETITË E FUNKSIONEVE TË VAZHDUESHME T e o r e m a 2.7.2.1. - Shuma, ndryshimi, prodhimi dhe herësi i dy funksioneve të vazhdueshme në pikën $a$ gjithashtu është funksion i vazhdueshëm në këtë pikë (për rastin e herësit supozohet se pjesëtuesi nuk redukohet në zero në pikën $a$ ).