Hipi Zhdripi i Matematikës/1183

ose ${\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{0}=p+d\cos({\overrightarrow {M_{2}M_{1}}},{\vec {a}}_{0})$ ( $\divideontimes$ ) sepse ${\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {a}}_{0}=p$ , ndërsa $\|{\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}{\vec {a}}_{0}\|=\|{\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}\|=d$ . Mirëpo, meqë ${\overrightarrow {M_{2}M_{1}}}\\|{\vec {a}}_{0}$ , prandaj $\cos({\overrightarrow {M_{2}M_{1}}},{\vec {a}}_{0})={\begin{cases}\ 1,\scriptstyle \mathrm {kur\ vektor{\ddot {e}}t} \ {\overrightarrow {M_{2}M_{1}}},{\vec {a}}_{0}\ \mathrm {kan{\ddot {e}}\ kahe\ t{\ddot {e}}\ nj{\ddot {e}}jta} ;\\-1,\scriptstyle \mathrm {kur\ vektor{\ddot {e}}t} \ {\overrightarrow {M_{2}M_{1}}},{\vec {a}}_{0}\ \mathrm {kan{\ddot {e}}\ kahe\ t{\ddot {e}}\ kund{\ddot {e}}rta} .\end{cases}}$ Në bazë të këtyre të dhënave, nga relacioni ( $\divideontimes$ ) marrim formulën $d=\pm ({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {a}}_{0}-p)$ (...15) për distancën e pikës $M_{1}$ prej planit $\alpha$ , ku parashenja +, respektivisht - tregon se pika $M_{1}$ dhe origjina $0$ e sistemit koordinativ ndodhen në anë të njëjta, respektivisht të kundërta ndaj planit $\alpha$ . Mirëpo, formula (15) shpesh jepet në trajtën $d=\|{\vec {r}}_{1}-{\vec {a}}_{0}-p\|$ (...15a) ose $d=\|x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p\|$ , (...15b) me të cilën njehsohet distanca e pikës $M_{1}$ prej planit $\alpha$ , pa e përcaktuar pozitën reciproke të pikave $M_{1}$ dhe $0$ ndaj planit $\alpha$ . Kur plani $\alpha$ jepet me ekuacionin (12) ose (12a), distanca përcaktohet me formulën: $d=\left\|{\frac {{\vec {r}}_{1}{\vec {a}}-b}{\pm \|{\vec {a}}\|}}\right\|$ (...15c) respektivisht formulën $d=\left\|{\frac {Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+D}{\pm {\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}\right\|$ . (...15d) S h e m b u l l i 6. - Të njehsohet distanca e pikave $M_{1}(2,1,1)$ dhe $M_{2}(-5,0,1)$ prej planit $\alpha :\ 2x+2y-z-2=0$ . Z g j i d h j e : Aplikojmë formulën (15) edhe gjejmë: $d_{1}=1$ , ndërsa $d_{2}=-{\frac {13}{3}}$ . 2.2.2. KËNDI NDËRMJET DY PLANEVE Le të jenë dhënë dy plane $\alpha :\ {\vec {r}}\cdot {\vec {a}}_{1}=b_{1}{\text{dhe}}\beta :\ {\vec {r}}-{\vec {a}}_{2}=b_{1}$ . Këndi ndërmjet planeve $\alpha$ dhe $\beta$ është këndi ndërmjet vektorëve të tyre ${\vec {a}}_{1}$ dhe ${\vec {a}}_{2}$ : $\sphericalangle (\alpha ,\beta )=\sphericalangle ({\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2})=\varphi$ ,