Përdoruesi:Hipi Zhdripi/shkresa për punë/3/7

0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|20|22|

70

KAPITULLI I TRETË NUMRAT KOMPLEKSË 1. KUPTIMI DHE BARAZIA E NUMRAVE KOMPLEKSË        Në kapitullin e mëparshëm (aksioma 4.1.) konstatuam se çdo pike M të boshtit numerik x' x i përgjigjet një dhe vetëm një numër real x ($\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {R}$) dhe anasjelltas. Po kështu edhe çdo pike M të planit koordinativ xOy i përgjigjet një dhe vetëm një dyshe e renditur (x, y) të numrave realë x dhe y, të cilët quhen | abshisa=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] dhe | ordinata=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e asaj pike. Për dyshe të këtilla të renditura të numrave realë përcaktohen rregullat e veprimeve aritmetikore në mënyrë të ngjashme sikurse për numrat realë, ku secila dyshe e renditur (x, y) trajtohet si një numër më vete. Meqë numri i këtillë karakterizohet me dy elemente numerike x dhe y, quhet numër i përbërë ose numër kompleks.        P ë r k u f i z i m i  1.1. - Numër kompleks quhet çdo dyshe e renditur (x, y) të numrave realë x dhe y dhe shënohet z$\scriptstyle {=}$(x, y).[1]        Numri x quhet | pjesa reale=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (ose | komponenti i parë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]), numri y | pjesa imagjinare=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (ose | komponenti i dytë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) e numrit kompleks z $\scriptstyle {=}$ (x, y) dhe shënohet: x$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \mathbb {R} e$ z, y$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \mathbb {I} m$ z (...1).        Bashkësia $\scriptstyle \mathbb {R}$$\scriptstyle {\times }$$\scriptstyle \mathbb {R}$$\scriptstyle {=}${(x, y)$\scriptstyle \mid$x,y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$} quhet | bashkësi e numrave kompleksë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] dhe zakonisht emërtohet me $\scriptstyle \mathbb {C}$, pra: C$\scriptstyle {=}${(x, y)$\scriptstyle \mid$x,y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$} , (...2) :ndërsa plani koordinativ xOy rëndom quhet | plani kompleks=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] C ose | plani i Gatissit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]

< 6 faqe - 7 - 8 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 6 faqe - 7 - 8 >

74

       Meqë secila dyshe e renditur (x, y) e përcakton në mënyrë të vetme një pikë M (x, y) në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ dhe anasjelltas, andaj edhe për këto dy bashkësi vlen:

       A k s i o m a (e Cantorit) 1.1. - Çdo numri korrpteks z $\scriptstyle {=}$ (x, y) i përgjigjet një dhe vetëm një pikë M (x, y) në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ dhe anasjelltas, çdo pike M (x, y) të planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ i përgjigjet një dhe vetëm një numër kompleks z $\scriptstyle {=}$ (x, y) .

       Në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ pika M (x, y) që korrespondon numrit kompleks z$\scriptstyle {=}$(x, y) quhet figura e atij numri, ndërsa numri kompleks z $\scriptstyle {=}$ (x, y) quhet afiksi i pikës M (x, y) . Mirëpo, meqë në planin koordinativ xOy secilës pikë M (x, y) mund t'i shoqërohet edhe nga një vektor i lirë $\scriptstyle {\overrightarrow {\text{OM}}}$, konkludojmë se secilit numër kompleks z$\scriptstyle {=}$(x, y) mund të shoqërohet nga një vektor i lire $\scriptstyle {\overrightarrow {\text{OM}}}$ (fig. 3.1.).

       Pikat e planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ që shtrihen në boshtin numerik x' x shprehen me numrat kompleksë të formës (x, 0), meqë ordinatat e atyre pikave janë të barabarta me zero. Numra të këtillë kompleksë janë të barabartë me numrat realë x, respektivisht (x, 0)$\scriptstyle {=}$x. Nga kjo del se (1, 0)$\scriptstyle {=}$1, ku numri (1, 0) quhet njësi reale, ndërsa (0, 0)$\scriptstyle {=}$0.

       Pra, me futjen e numrave kompleksë (x, y) në të vërtetë bëhet zgjerimi i kuptimit të numrit - numri realë trajtohet si rast i veçantë i numrit kompleks. Rrjedhimisht, sikundër që bashkësia e pikave të boshtit numerik x'x është një nënbashkësi e bashkësisë së pikave të planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$, ashtu edhe bashkësia e numrave realë $\scriptstyle \mathbb {R}$ është një nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleksë $\scriptstyle \mathbb {C}$, pra: $\scriptstyle \mathbb {R}$$\scriptstyle \mathbb {C}$ (ose $\scriptstyle \mathbb {C}$$\scriptstyle \mathbb {R}$).

       Numrat kompleksë të formës (x, y), ku y $\scriptstyle {\neq }$0, , rektivisht numrat kompleksë që nuk janë numra realë, quhen numra imagjinarë. Ndërsa, pikat e planit kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ që shtrihen në boshtin y' y i kanë abshisat të barabarta me zero. Ato pika shprehen me numra imagjinarë të formës (0, y). Numra të këtillë imagjinarë quhen numra thjesht imagjinarë.

       P ë r k u f i z i m i  1.2. - Numri thjesht imagjinar (0, 1) quhet njësia imagjinare dhe shënohet me i[2], pra:

i (0, 1). (...3)

       Në planin kompleks $\scriptstyle \mathbb {C}$ boshti x'x zakonisht quhet boshti real, ndërkaq boshti y' y boshti imagjinar.

       P ë r k u f i z i m i  1.3. - Dy numra kompleksë z₁$\scriptstyle {=}$(x₁, y₁), z₂$\scriptstyle {=}$(x₂, y₂) janë të barabartë nëse x₁$\scriptstyle {=}$x₂ dhe y₁$\scriptstyle {=}$y₂[3], pra:

z₁$\scriptstyle {=}$z₂$\scriptstyle \Leftrightarrow$x₁$\scriptstyle {=}$x₂$\scriptstyle \land$y₁$\scriptstyle {=}$y₂, (...4)

       Nga ky përkufizim del se numri kompleks z$\scriptstyle {=}$(x, y) është i barabartë me zero, nëse x$\scriptstyle {=}$0 dhe y$\scriptstyle {=}$0, pra:

(x,y)$\scriptstyle {=}$0$\scriptstyle \Leftrightarrow$x$\scriptstyle {=}$0$\scriptstyle \land$y$\scriptstyle {=}$0. (...4a)

       P ë r k u f i z i m i  1.4. - Dy numra kompleksë (x, y), (x, -y) të cilët ndryshojnë njëri prej tjetrit vetëm nga parashenja e pjesës imagjinare quhen numra kompleksë të konjuguar.[4]

75

76

77

78

79