Hipi Zhdripi i Matematikës/1176

1° Pozita e planit $\mu$ i cili kalon nëpër pikën $M$ dhe boshtin $0z$ përcaktohet ndaj planit të meridianit të parë $\mu _{1}$ me këndin $\varphi$ (ku $0\leqslant \varphi <2\pi$). Fig. 6.3.         2° Pozita e pikës $M$ në planin e meridianit $\mu$ përcaktohet me radius-vektorin ${\overrightarrow {0M}}=\rho$ (ku $0\leqslant \rho <+\infty$) dhe me këndin $\theta$ që paraqet këndin komplementar të këndit ndërmjet radius-vektorit ${\overrightarrow {0M}}$ dhe boshtit $0z\left({\text{ku}}-{\frac {\pi }{2}}\leqslant \theta \leqslant {\frac {\pi }{2}}\right)$ (fig. 6.3.).         Me këta tre skalarë $\varphi ,\rho ,\theta$ plotësisht përcaktohet pozita e pikës $M$ në hapsërië. Këto quhen koordinata sferike të pikës $M$ dhe shënohet $M(\varphi ,\rho ,\theta )$.         Në sistemin sferik kemi këto sipërfaqe koordinative:         - kur $\varphi =\operatorname {const}$, sipërfagja koordinatiye është një plan (i meridianit), i cili kalon nëpër boshtin $0z$;         - kur $\rho =\operatorname {const}$, sipërfagja koordinative është një sferë me qendrën në polin $0$ e me rrezen $r=\rho$ dhe         - kur $\theta =\operatorname {const}$, sipërfagja koordinative është një sipërfaqe konike rrethore me kulmin në polin $0$, e përftuesat (generatrisat) e së cilës formojnë këndin ${\frac {\pi }{2}}-\theta$ me boshtin $0z$.         Verifikoni këto pohime! Përcaktoni sipërfaqen koordinative nëse: (1) $\varphi ={\frac {\pi }{2}}$ (2) $\rho =1$; (3) $\theta =0$.         Le të ndërtojmë tani sistemin kartezian $0xyz$ ndaj sistemit sferik ashtu që plani koordinativ $x0z$ të përputhet me planin e meridianit të parë $\mu _{1}$, kurse boshtet koordinative $0x$ dhe $0y$ të orientohen në mënyrë që me boshtin $0z$ të formojnë reperin e djathtë (fig. 6.3.). Në këto kushte koordinatat karteziane $x,y,z$ të një pike çfarëdo $M$ shprehen nëpërmjet të koordinatave sferike $\varphi ,\rho ,\theta$ me anën e këtyre formulave: $x=\rho \cos \theta \cos \varphi ,\ \ y=\rho \cos \theta \sin \varphi ,\ \ z=\rho \sin \theta$. (...6)         Nga këto formula delë se vektori i pozites ${\overrightarrow {0M}}$ shprehet me koordinata sferike në këtë mënyrë: ${\overrightarrow {0M}}=(\rho \cos \theta \cos \varphi ){\vec {i}}+(\rho \cos \theta \sin \varphi ){\vec {j}}+(\rho \sin \theta ){\vec {k}}$. (...5a)         Nga barazitë (6) marrim këto formula: $\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\ \ \varphi =\operatorname {arc\ tg} {\frac {y}{x}},\ \ \theta =\operatorname {arc\ tg} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$, (...6a) ku koordinatat sferike të pikës $M$ shprehen me anën e koordinatave karteziane.

< 1175 faqe - 1176 - 1177 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1175 faqe - 1176 - 1177 >