V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës: , dhe në bazë të formulave (7b) kemi:
çka do të thotë se vërtet shuma dhe ndryshimi i dy funksioneve të vazhdueshme në pikën është funksion i vazhdueshëm në këtë pikë. Në mënyrë analoge vërtetohet edhe vazhdueshmëria e prodhimit dhe e herësit.


       T e o r e m a  2.7.2.2. - Të gjitha funksionet elementare themelore janë të vazhdueshme në zonat e tyre të përcaktimit.


       V ë r t e t i m Për funksionet elementare themelore vlen formula (13a):
e cila shpreh faktin se limiti i cilitdo funksion elementar themelor në cilëndo pikë nga zona e përcaktimit të tyre është i barabartë me vlerën e atij funksioni në atë pikë, prandaj (në bazë të përkufizimit 2.7.1.) konkludojmë se pohimi i kësaj teoreme është i saktë.


       T e o r e m a  2.7.2.3. - Funksioni i vazhdueshëm në është i kufizuar në te.


       T e o r e m a (e Weierstrassit) 2.7.2.4. - Funksioni i vazhdueshëm merr në te vlerën e vet më të madhe dhe vlerën e vet më të vogël.


       T e o r e m a (e Bolzanos) 2.7.2.5. - Funksioni i vazhdueshëm në e që në skajet e këtij segmenti ka vlera me parashenja të kundërta , ndërmjet pikave , ka të paktën një pikë e atillë që .


       V ë r t e t i m Marrim se , E përgjysmojmë segmentin . Le të jetë pika mesi i . Nëse , themi se teorema u vërtetua, ndërkaq nëse , atëherë për e marrim segmentin , në rast të kundërt segmentin . Le ta shënojmë segmentin përkatës me . Në këtë segment plotësohen të gjitha konditat e teoremës. E përgjysmojmë edhe këtë segment ku marrim pikën . Për , themi se teorema u vërtetua, ndërkaq nëse , marrim përsëri atë gjysmësegment , në të cilin plotësohen konditat e teoremës. Ky proces i përgjysmimit të segmentit dhe e zgjedhjes së gjysmësegmentit që plotëson konditat e teoremës së Bolzanos mund të vazhdohet deri në pafund dhe kështu përftohet vargu i numrave dhe vargu monoton zvogëlues i segmenteve Për rastin kur themi se në segmentin plotësohen konditat e teoremës së Bolzanc. Le të jetë një pikë e segmentit , kurse rrethina e pikës e cila e përmban atë segment. Meqenëse në rrethinën e pikës , sado i vogël qoftë numri pozitiv , funksioni merrë vlera me parashenja të ndryshme, kurse ky funksion është i vazhdueshëm në pikën , andaj del se në këtë pikë vlera e funksionit është zero , çka edhe donim të vërtetonim.


       T e o r e m a  2.7.2.6. - Funksioni i vazhdueshëm në ku , në këtë segment merr si vlera çdo numër ndërmjet dhe .


< 1263
faqe
- 1264 -

1265 >

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40


< 1263
faqe
- 1264 -

1265 >