Përdoruesi:Hipi Zhdripi/shkresa për punë/3/2

0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12|13|14|15|16|17|18|20|22|

20

(a4) A$\scriptstyle {\cap }$(B$\scriptstyle {\cap }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\cap }$B}$\scriptstyle {\cap }$(A$\scriptstyle {\cap }$C) A$\scriptstyle {\cup }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\cup }$B}$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\cup }$C)   (ligji distributiv)         (a5) A$\scriptstyle {\cap }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\cap }$B}$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\cap }$C), A$\scriptstyle {\cup }$(B$\scriptstyle {\cap }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\cup }$B}$\scriptstyle {\cap }$(A$\scriptstyle {\cup }$C),   (ligji distributiv)        P ë r k u f i z i m i  2.2.3. - Diferenca e bashkësive A, B quhet bashkësia e elementeue të bashkësisë A që nuk janë në bashkësinë B(fig. 1.4.), pra : A\B{x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \land$X$\scriptstyle \not \in$B}.        Simboli \ (lexo: | diferenca=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ose | pa=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) është shenja e veprimit në fjalë.        P.sh.: $\scriptstyle \mathbb {N}$\$\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$, $\scriptstyle \mathbb {N}$\$\scriptstyle \mathbb {Z}$$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\varnothing }$, $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$\$\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$, {1, 3, 5, 7}\{2, 3, 4, 5}$\scriptstyle {=}${ 1, 7}.        Në bazë të përkufizimit 2.2.3 del se A\A$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\varnothing }$ dhe A\$\scriptstyle {\varnothing }$$\scriptstyle {=}$A, për çdo bashkësi A.   Fig. 1.4. Fig. 1.5        Kur BC, atëherë A\Bquhet | komplement=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] i bashkësisë Bndaj bashkësisë Adhe shënohet CABose B'(fig. 1.5.).        P.sh.: $\scriptstyle \mathbb {C}$$\scriptstyle \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \mathbb {Z}$\$\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {Z}$$\scriptstyle \land$x<0}.        Relacioni (A')'$\scriptstyle {=}$Ashpreh ligjin e | involucionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        S h e m b u l l i  11. - Të vërtetohen relacionet: (A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cap }$B'dhe (A$\scriptstyle {\cap }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cup }$B' që paragesin ligjet e | De Morganit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        V ë r t e t i m : Të vërtetojmë relacionin e parë. Vërtetimi bëhet sipas skemës:        (1) vërtetohet se (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B';        (2) vërtetohet se A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)'; dhe        (3) nxirret konkludirni se (A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cap }$B'.        (1) vërtetimi i inkluzionit (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B'.

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

21

Le të supozojmë se x është cilido një element i bashkësisë (A$\scriptstyle {\cup }$B)', atëherë marrim këto implikacione: x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \not \in$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \in$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'.        Meqë, implikacioni x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'vlen për secilin element të bashkësisë (A$\scriptstyle {\cup }$B)', respektivisht ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)')x$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'. konkludojmë se (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B'.        (2) | Vërtetimi i inkluzionit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)':        Le të supozojmë tani se yështë cilido një element i bashkësisë A'$\scriptstyle {\cap }$B', atëherë kemi këto implikacione: y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle \land$y$\scriptstyle \in$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle \land$y$\scriptstyle \not \in$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \not \in$A$\scriptstyle {\cup }$B$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'.        Meqë edhe këtu implikacioni y$\scriptstyle \in$A, $\scriptstyle {\cap }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'vlen për secilin element të bashkësisë A'$\scriptstyle {\cap }$B'respektivisht : ($\scriptstyle {\forall }$y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B') y$\scriptstyle \in$A'$\scriptstyle {\cap }$B'$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\cup }$B)', konkludojmë se A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)'.        (3) Nga inkluzionet të vërtetuara nën (1) dhe (2) dhe në bazë të përkufizimit 2.1 .3. : (A$\scriptstyle {\cup }$B)'A'$\scriptstyle {\cap }$B' $\displaystyle {\}}$ $\scriptstyle \Leftrightarrow$(A$\scriptstyle {\cup }$B)'$\scriptstyle {=}$A'$\scriptstyle {\cap }$B', A'$\scriptstyle {\cap }$B'(A$\scriptstyle {\cup }$B)' [[Figura:Diferenca simetrke AB.PNG|right}} Fig. 1.6. konkludojmë se është i saktë relacioni që shpreh ligjin e parë të | De Morganit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Në mënyrë analoge bëhet vërtetimi i ligjit të dytë .        Le të jenë A, Bdy bashkësi çfarëdo. Unioni i diferencave A\Bdhe B .Aquhet | diferenca simetrike=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e tyre dhe shënohet A$\scriptstyle \backslash$B(lexo : A diferenca simetrike B) (Fig. 1 .6.), pra : A$\scriptstyle \backslash$B$\scriptstyle {=}$(A\B)$\scriptstyle {\cup }$(B\A). (...16)        P.sh. : {a, b, c}$\scriptstyle \backslash${b, d, e, f}$\scriptstyle {=}${a, b, c}\{b, d, e, f }$\scriptstyle {\cup }${b, d, e, f }\{a, b, c}$\scriptstyle {=}${a, c}$\scriptstyle {\cup }${d, e, f }$\scriptstyle {=}${a, c, d, e, f} .        Pra, diferenca simetrike e bashkësive A, Bquhet bashkësia e elementeve jo të përbashkëta të tyre.

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

22

2.2.1. DYSHJA E RENDITUR DHE PRODHIMI KARTEZIEN I BASHKESIVE        Bashkësinë prej dy elementeve a, bmund ta formojmë duke shkruar {a, b} ose {b, a} , sepse rendi i numërimit të elementeve nuk e cilëson bashkësinë, por vetëm përbërja e saj. Prandaj: ($\scriptstyle {\forall }$a, b):{a, b}$\scriptstyle {=}${b, a}.        Ndërkaq, (a, b)quhet | dyshja e renditur=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (rregulluar), ku aështë elementi i parë, e bi dytë, andaj (a, b)$\scriptstyle \neq$(b, a), nëse a$\scriptstyle \neq$b.        Relacioni përkufizues i barazisë së dy dysheve të renditura (a, b), (c, d)është : (a, b)$\scriptstyle {=}$(c, d)a$\scriptstyle {=}$c$\scriptstyle \land$b$\scriptstyle {=}$d.(...17)        Në mënyrë analoge përkufizohet edhe treshi i renditur (a, b, c).        P ë r k u f i z i m i  2.2.3.1 - Prodhimi kartezian i bashkësive A, B quhet bashkësia e dysheve të renditura (a, b) me vetinë a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B, pra A$\scriptstyle {\times }$B{(a, b)$\scriptstyle \mid$a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B}.(...18)        P.sh.: {a, b, c}$\scriptstyle {\times }${c, d}$\scriptstyle {=}${(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)} .        Prodhimi A$\scriptstyle {\times }$Aquhet | katrori kartezian=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (ose | katrori i Dekartit=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) dhe shënohet me A2 , pra : A2$\scriptstyle {=}${(a, b)$\scriptstyle \mid$a, b$\scriptstyle \in$A}.(...19)        Në paraqitjen e grafit të prodhimit kartezian A$\scriptstyle {\times }$Bnë sistemin koordinativ xOyelementet e tij (a, b)trajtohen si pika, ku aquhet | abshisa=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], kurse b| ordinata=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e pikës. Kështu p.sh.:        (1) Në sistemin koordinativ xOy(fig. 1 .7.) pikat e zeza paraqesin grafin e prodhimit kartezian {1, 2, 3}$\scriptstyle {\times }${2, 3, 4, 5} ; ndërsa        (2) Në sistemin koordinativ xOy(fig. 1 .8.) fusha e hijesuar paraqet grafin e prodhimit kartezian të bashkësive A$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$a<x<b} dhe B$\scriptstyle {=}${y$\scriptstyle \mid$c<y<d}.        Prodhimi kartezian i tri bashkësive A, B, Cpërkufizohet me këtë relacion : A$\scriptstyle {\times }$B$\scriptstyle {\times }$C{(a, b, c)$\scriptstyle \mid$a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B, c$\scriptstyle \in$C}.(...20)        Prodhimi kartezian i nbashkësive A1, A2, A3, . . ., An shënohet me simbolin $\prod _{i=1}^{n}$Ak (lexo : pi Ak, k prej 1 deri në n), pra : A1$\scriptstyle {\times }$A1$\scriptstyle {\times }$A3$\scriptstyle {\times }$. . .$\scriptstyle {\times }$An$\scriptstyle {=}$$\prod _{i=1}^{n}$Ak.

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

23

S h e m b u l l i  12. - Të vërtetohet relacioni A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C) që shpreh ligjin distributiv të prodhimit kartezian ndaj unionit.   colspan="2" Fig. 1.7. Fig. 1.7.        V ë r t e t i m : Skema e vërtetimit:        (1) Vërtetohet se A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C),        (2) Vërtetohet se (A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C)A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C);dhe        (3) Nxirret konkluzioni se A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C).        Le të supozojmë se (a, b)është cilido element i bashkësisë A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C), nga marrim këto ekuivalenca: (a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C) $\scriptstyle \Leftrightarrow$ (a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B$\scriptstyle {\cup }$C) $\scriptstyle \Leftrightarrow$ {a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B$\scriptstyle \lor$b$\scriptstyle \in$C) $\scriptstyle \Leftrightarrow$ (a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B)$\scriptstyle \lor$(a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$C) $\scriptstyle \Leftrightarrow$ (a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$B$\scriptstyle \lor$(a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$C $\scriptstyle \Leftrightarrow$ (a, b)$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C).        Meqë ekuivalenca (a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle \Leftrightarrow$(a, b)$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C) vlen për secilën dyshe të renditur të bashkësisë A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C), pra : ($\scriptstyle {\forall }$(a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)) (a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C}$\scriptstyle \Leftrightarrow$(a, b)$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C) konkludojmë se janë të sakta inkluzionet (1) dhe (2). Nga këto inkluzione, e në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim se A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C), çka duhej të vërtetohej .

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

24

3. RELACIONET        Në matematikë shpesh hasim në formula që shfaqin | raporte=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], | lidhshmëri=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], | marrëdhënie=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] ndërmjet elementeve të një bashkësie ose të dy e më shumë bashkësive të ndryshme. Formula të atilla quhen | relacione=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Në përgjithësi relacioni ndërmjet dy elementeve a, brëndom shënohet me (a, b)$\scriptstyle \in$ρose me aρb(lexo : a është në relacion ρ me b). Kuptohet, për relacione të posaçme përdoren edhe simbole të posaçme. Për shembull:         - Në bashkësitë numerike për | barazinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] përdoret simboli $\scriptstyle {=}$(a$\scriptstyle {=}$b),për | është më i madh =[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli > (a > b), për | është më i vogël=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli < (a < b), për | plotpjesëtueshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli $\vdots$(a$\vdots$b), për | thjeshtësinë relative të dy numrave të plotë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli (a, b)$\scriptstyle {=}$1etj.;         - Në bashkësitë e objekteve gjeometrike për | paralelshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] përdoret simboli $\scriptstyle {\|}$(p$\scriptstyle {\|}$q), për | normalësinë reciproke=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli $\scriptstyle {\bot }$(p$\scriptstyle {\bot }$q), për | kongruencën=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] (| përputhshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]) simboli $\scriptstyle {\cong }$(F1$\scriptstyle {\cong }$F2), për | ngjashmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simboli $\scriptstyle \thicksim$ (F1$\scriptstyle \thicksim$ F2)etj.;         - Në bashkësitë e çfarëdoshme për | përkatshmërinë=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] përdoret simboli $\scriptstyle \in$(a$\scriptstyle \in$A), për | inkluzionet=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] simbolet, , , etj. 3.1. RELACIONET BINARE DHE VETITË E TYRE        Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.        P ë r k u f i z i m i  3.1.1. - Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b $\scriptstyle \in$ A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) a$\scriptstyle {\bar {\rho }}$b (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .        Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë Ae lidh dy nga dy elemente të A - së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :        | Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2(ρA2) =[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : | refleksiviteti=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], | simetria=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] dhe | transitiviteti=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] .        P ë r k u f i z i m i  3.1.2. - Relacioni binar ρ në A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën, pra : ($\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$A) aρa. (...21)        Relacioni binar ρ në Aështë relacion jo refleksiv, nëse ($\scriptstyle {\exists }$a$\scriptstyle \in$A) a$\scriptstyle {\bar {\rho }}$a.(...22)        Për shembull :         - Relacioni i plotpjesëtueshmërisë ($\vdots$) në bashkësinë$\scriptstyle \mathbb {N}$është relacion refleksiv, sepse ($\scriptstyle {\forall }$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) n$\vdots$n;         - Relacioni i barazisë ($\scriptstyle {=}$) në bashkësinë$\scriptstyle \mathbb {R}$është relacion refleksiv, sepse ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$R) x$\scriptstyle {=}$x;         - Relacioni binar është normal ($\scriptstyle {\bot }$) në bashkësinë e drejtëzave Dështë relacion jo refleksiv, sepse ($\scriptstyle {\exists }$p$\scriptstyle \in$D) p $\textstyle {\not \perp }$ p.

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

25

P ë r k u f i z i m i  3.1.3. - Relacioni binar ρ në A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a, pra: ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A) a ρ b$\scriptstyle {\Rightarrow }$b ρ a(..23)        Relacioni binar ρ në Aështë | asimetrik=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], nëse ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A) aρb$\scriptstyle \land$bρa$\scriptstyle {\Rightarrow }$a$\scriptstyle {=}$b.(...24)        Për shembull:         - Relacioni i paralelshmërisë ($\scriptstyle {\|}$) në bashkësinë e planeve Sështë relacion simetrik, sepse ($\scriptstyle {\forall }$α, β$\scriptstyle \in$S) α$\scriptstyle {\|}$β$\scriptstyle {\Rightarrow }$β$\scriptstyle {\|}$α         - Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave në$\scriptstyle \mathbb {N}$është relacion simetrik, sepse ($\scriptstyle {\forall }$m, n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) (m, n)$\scriptstyle {=}$1$\scriptstyle {\Rightarrow }$(n, m)$\scriptstyle {=}$1;         - Relacioni binar nuk është më i madh () në$\scriptstyle \mathbb {R}$është antisimetrik, sepse (x, y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$) xy$\scriptstyle \land$yx$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle {=}$y.        P ë r k u f i z i m i  3.1.4. - Relacioni binar ρ në A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc, pra: ($\scriptstyle {\forall }$a, b, c$\scriptstyle \in$A) aρb$\scriptstyle \land$bρc$\scriptstyle {=}$aρc. (...5)        Relacioni binai ρ në Aështë | relacion intransitiv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], nëse ($\scriptstyle {\exists }$a, b, c$\scriptstyle \in$A) a ρ b$\scriptstyle \land$b ρ c$\scriptstyle {\not \Rightarrow }$a ρ c.(...6)        Për shembull :         - Relacioni i ngjashmërisë ($\scriptstyle \thicksim$) në bashkësinë e figurave gjeometrike Fështë relacion transitiv, sepse $\scriptstyle {\forall }$(F1, F2, F3$\scriptstyle \in$F) F1$\scriptstyle \thicksim$F2$\scriptstyle \land$F2$\scriptstyle \thicksim$ F3$\scriptstyle {=}$F1$\scriptstyle \thicksim$ F3;         - Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse ($\scriptstyle {\forall }$x, y, z$\scriptstyle \in$R) x>y$\scriptstyle \land$y>Z$\scriptstyle {\Rightarrow }$x>z;         - Relacioni binar është normal ($\scriptstyle {\bot }$) në bashkësinë e drejtëzave Dështë relacion intransitiv, sepse ($\scriptstyle {\forall }$p, q, r$\scriptstyle \in$D) p$\scriptstyle {\bot }$q$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle {\bot }$r$\scriptstyle {\not \Rightarrow }$p$\scriptstyle {\bot }$r. 3.2. RELACIONI I EKUIVALENCËS        P ë r k u f i z i m i  3.2.1. - Relacion binar ρ në A quhet relacion i ekuivalencës, nëse është refleksiv, simetrik dhe transitiv.        Relacionet e ekuivalencës luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë dhe shënohen me një simbol të përbashkët $\scriptstyle \thicksim$. Relacione më të rëndësishme të ekuivalencës janë : barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria.

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

26

Relacioni i ekuivalencës $\scriptstyle \thicksim$ i përkufizuar në bashkësinë Ae zbërthen atë në nënbashkësi që quhen | klaset e ekuivalencës=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]]. Kështu, nëse a$\scriptstyle \in$A, atëhetë elementet e bashkësisë Aqë janë ekuivalent me elementin a(d.m.th. $\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$A x$\scriptstyle \thicksim$a)formojnë nënbashkësinë Ca$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$x$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \land$x$\scriptstyle \thicksim$a},(...27) e cila quhet klasa e ekuivalencës $\scriptstyle \thicksim$ me përfaqësuesin a.        Kur bashkësia A, lidhur me ekuivalencën $\scriptstyle \thicksim$, zbërthehet në klasa, atëherë:        (a1) Çdo element i bashkësisë Ai përket një klase;        (a2) Asnjë element nuk u përket dy klasave të ndryshme; dhe        (a3) Unioni i të gjitha klasave është i barabartë me bashkësinë A.        Pra konkludojmë se klasat e ekuivalencës janë disjunkte ndërmjet tyre.        T e o r e m a  3.2.1. - Çdo ekuivalencë $\scriptstyle \thicksim$në bashkësinë Ae përkufzon një zbërthim të A - së në klasa të ekuivalencës dhe e anasjellta, çdo zbërthim të bashkësisë Anë klasa të ekuivalencës e përkufzon një relacion të ekuivalencës në bashkësinë A.        V ë r t e t i m : a) Le të supozojmë të kundërtën - se dy klasa të ndryshme Ca, Cb nuk janë disjunkte : Ca$\scriptstyle {\cap }$Cb$\scriptstyle \neq$$\scriptstyle {\varnothing }$ . Atëherë del se : ($\scriptstyle {\exists }$c$\scriptstyle \in$A) c$\scriptstyle \in$Ca$\scriptstyle \land$c$\scriptstyle \in$Cb , nga marrim a$\scriptstyle \thicksim$c$\scriptstyle \land$c$\scriptstyle \thicksim$b$\scriptstyle {\Rightarrow }$a$\scriptstyle \thicksim$b, meqë relacioni $\scriptstyle \thicksim$ është transitiv.        Tani, në bazë të formulës së përftuar a$\scriptstyle \thicksim$b, mund të provojmë se CaCb dhe CbCa . Vërtet:        (1) ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$Ca) x$\scriptstyle \thicksim$a, andaj kemi: x$\scriptstyle \thicksim$a$\scriptstyle \land$a$\scriptstyle \thicksim$b$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle \thicksim$b$\scriptstyle \Leftrightarrow$x$\scriptstyle \in$Cb , çka, sipas përkufizimit 2.1.1., del se CaCb ;        (2) ($\scriptstyle {\forall }$y$\scriptstyle \in$Cb) y$\scriptstyle \thicksim$b, andaj: y$\scriptstyle \thicksim$b$\scriptstyle \land$b$\scriptstyle \thicksim$a$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \thicksim$a$\scriptstyle {\Rightarrow }$y$\scriptstyle \in$Ca , d.m.th. CbCa .        Në fund, në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim : CaCb$\scriptstyle \land$CbCa$\scriptstyle {\Rightarrow }$Ca$\scriptstyle {=}$Cb .        Pra, nga supozimi Ca$\scriptstyle {\cap }$Cb del se klasat e ekuivalencës Ca, Cb nuk janë të ndryshme (Ca$\scriptstyle {=}$Cb), andaj konkludojmë se pohimi i parë i teoremës është i saktë.        b) Për të vërtetuar pohimin e anasjelltë supozojmë se Ca, Cb, Cc...paraqet një zbërthim çfarëdo të bashkësisë Anë klasa të ekuivalencës ... Në bashkësinë Ae përkufizojmë relacionin binar ρ në këtë mënyrë : Për elementet (x, y$\scriptstyle \in$A) x ρ y$\scriptstyle \Leftrightarrow$($\scriptstyle {\exists }$!Ct, x, y$\scriptstyle \in$Ct).

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

27

Relacioni binar ρ, i përkufizuar në këtë mënyrë, është relacion i ekuivalencës, sepse është        (i) | Refleksiv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] : ($\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$A) x ρ x,sepse çdo x ($\scriptstyle \in$A)i përket njërës klasë të ekuivalencës Ca, Cb, Cc, ...;        (ii) | Simetrik=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] : Ngase kur x ρ y, atëherë edhe y ρ x, meqë kur elementet e dyshes (x, y)i përkasin njërës klasë Ca, Cb, Cc, ..., asaj klase i përkasin edhe elementet e dyshes (y, x); dhe        (iii) | Transitiv=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] : Nga se kur x ρ ydhe y ρ z, atëherë edhe x ρ z, meqë kur elementet e dysheve (x, y)dhe (y, z)i përkasin njërës klasë të ekuivalencës, asaj klase u përkasin edhe elementet e dyshes (x, z).        Bashkësia e klasave të ekuivalencës $\scriptstyle \thicksim$ shënohet me A/$\scriptstyle \thicksim$$\scriptstyle {=}${Ca$\scriptstyle \mid$a$\scriptstyle \in$A} (...28) dhe quhet | faktor - bashkësi=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] e bashkësisë Anë lidhje me ekuivalencën        S h e m b u l l i  13. - Në bashkësinë e zgjeruar të numrave, natyralë $\scriptstyle \mathbb {N}$0($\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \mathbb {N}$$\scriptstyle {\cup }${0})është përkufizuar relacioni binar ρ me : a ρ b$\scriptstyle \Leftrightarrow$a$\scriptstyle {=}$mq1 + r$\scriptstyle \land$b$\scriptstyle {=}$mq2 + r, ku 0r<m i cili mund të shprehet edhe kështu : a ρ b$\scriptstyle \Leftrightarrow$(a - b)$\vdots$m.        Meqë:        (1) ($\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0) a ρ aose (a - a)$\vdots$m;        (2) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0) a ρ b$\scriptstyle {\Rightarrow }$b ρ aose (a - b)$\vdots$m$\scriptstyle {\Rightarrow }$(b - a)$\vdots$m;        (3) ($\scriptstyle {\forall }$a, b, c$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0) (a ρ b$\scriptstyle \land$b ρ c)$\scriptstyle {\Rightarrow }$a ρ cose (a - b)$\vdots$m$\scriptstyle \land$(b - c)$\vdots$m$\scriptstyle {\Rightarrow }$(a - c)$\vdots$m, konkludojmë se ρ është relacion i ekuivalencës. Ky relacion quhet | relacion i kongruencës=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] sipas modulit mdhe shënohet me a$\scriptstyle \equiv$b (mod m).        Me relacionin e kongruencës sipas modulit mbashkësia$\scriptstyle \mathbb {N}$0zbërthehet në këto mklasa të ekuivalencës : Cr$\scriptstyle {=}${n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0$\scriptstyle \land$n$\scriptstyle {=}$mq + r$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0} , r$\scriptstyle {=}$0, 1, 2, ..., m - 1 ku secila klasë karakterizohet me vlerën e mbetjes r. Pra, klasën Cr e përbëjnë të gjithë numrat natyralë të cilët kur pjesëtohen me mjapin mbetjen r, andaj Cr quhet edhe klasa e mbetjes r.        Të konkludojmë : bashkësia$\scriptstyle \mathbb {N}$0në lidhje me relacionin e kongruencës sipas modulit mzbërthehet në mklasa : në klasën e mbetjes 0, në klasën e mbetjes 1, ..., në klasën e mbetjes m - 1. Klasat C0, C1, C2, ..., Cm - 1 ngandonjëherë shënohen me : (0), (1), (2), ..., (m - 1).        Për m$\scriptstyle {=}$3kemi këto tri klasa:         (bl) C0$\scriptstyle {=}${n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0$\scriptstyle \land$n$\scriptstyle {=}$3q$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0} ose C0$\scriptstyle {=}${0, 3, 6, 9, ...},         (b2) C1$\scriptstyle {=}${n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0$\scriptstyle \land$n$\scriptstyle {=}$3q + 1$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0} ose C1$\scriptstyle {=}${1, 4, 7, 10, ...},         (b3) C2$\scriptstyle {=}${n$\scriptstyle \mid$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0$\scriptstyle \land$n$\scriptstyle {=}$3q + 2$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0} ose C2$\scriptstyle {=}${2, 5, 8, 11, ...},

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

28

ku plotësohen kushtet         (a1) ($\scriptstyle {\forall }$n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$0) n$\scriptstyle \in$C0$\scriptstyle \lor$n$\scriptstyle \in$C1$\scriptstyle \lor$n$\scriptstyle \in$C2;         (a2) Ci$\scriptstyle {\cap }$Cj$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle {\varnothing }$, $\scriptstyle {\forall }$i$\scriptstyle \neq$j, i, j$\scriptstyle {=}$0, 1, 2;         (a3)$\bigcup _{i=1}^{n}$Ck$\scriptstyle {=}$$\scriptstyle \mathbb {N}$0        Pra: 4$\scriptstyle \equiv$7 (mod 3), 2 - 8 (mod 3), ndërsa 5 $\scriptstyle \not \equiv$7 (mod 3). 3.3. RELACIONI I RENDITJES        P ë r k u f i z i m i  3.3.1. - Relacioni binar ρ në A quhet relacion i renditjes, nëse është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.        Relacionet e renditjes shënohen me këtë simbol. Relacionet më të rëndësishme të renditjes janë : plotpjesëtueshmëria ($\vdots$), nuk është më i madh (), nuk është më i vogël ($\scriptstyle \geqslant$) dhe inkluzionet, .        P ë r k u f i z i m i  3.3.2. - Relacioni binar ρ në A quhet relacion rigoroz i renditjes, nëse është irefleksiv, antisimetrik dhe transitiv.        Relacione rigoroze të renditjes janë : është më i madh (>), është më i vogël (<) dhe inkluzionet, .        Bashkësia Apër elementet e së cilës mund të përkufizohet relacioni i renditjes, quhet | bashkësi e renditur=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] lidhur me atë relacion ose | sistem i renditur=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] dhe shënohet me (A, ).        Kur për çdo dy elemente të bashkësisë së renditur Avlen : ose a ρ bose b ρ a thuhet se ajo bashkësi është | plotësisht (linearisht) e renditur=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], në rast të kundërt është | pjesërisht (parcialisht) e renditur=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]].        Për shembull, bashkësia e numrave natyralë$\scriptstyle \mathbb {N}$në lidhje me relacionin > është plotësisht e renditur, ndërsa në lidhje me relacionin$\vdots$është pjesërisht e renditur. 3.4. RELACIONET NDËRMJET DY BASHKËSIVE        Kemi konstatuar se çdo nënbashkësi ρ e katrorit kartezian A2 quhet relacion binar në bashkësinë A. Në analogji thuhet : nëse A, Bjanë dy bashkësi jo të zbrazëta, atëherë çdo nënbashkësi ρ$\scriptstyle {=}${(a, b)$\scriptstyle \mid$a$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle \land$b$\scriptstyle \in$B$\scriptstyle \land$a ρ b} e prodhimit kartezian A$\scriptstyle {\times }$Bquhet | relacion ndërmjet bashkësive=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] A, B.        Në përgjithësi, nëse supozoj më se A1A, B11B, atëherë ρ$\scriptstyle {=}$A1$\scriptstyle {\times }$B1( ρA$\scriptstyle {\times }$B)quhet relacion ndërmjet bashkësive A, Bku nënbashkësia A1 quhet | domen=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]], e nënbashkësia B1 | kodomen=[[Hipi Zhdripi i Matematikës/#{{{1}}}|{{{1}}}]] i relacionit ρ .        P.sh. për A$\scriptstyle {=}${2, 3, 4}, B$\scriptstyle {=}${1, 2, 3, 4, 5, 6}        (1) ρ1$\scriptstyle {=}${(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >

29

është një relacion ndërmjet bashkësive A, B, sepse secili element i ρ1 si dyshe e renditur (a, b)shfaq raportin b$\vdots$a. Domeni i këtij relacioni është A1$\scriptstyle {=}${2, 3, 4} , kodomeni B1$\scriptstyle {=}${2, 3, 4, 6} ;        (2) ρ2$\scriptstyle {=}${(2, 2), (3, 3), (4, 4)} është një relacion ndërmjet bashkësive të dhëna A, B, sepse secili element (a, b)i ρ2 shfaq raportin a$\scriptstyle {=}$b;        (3) ρ3$\scriptstyle {=}${(2, 1), (3, 1), (4, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)} është një relacion ndërmjet bashkësive A, B, sepse secili element (a, b)$\scriptstyle \in$ρ3 shfaq raportin a > b.        Grafi i relacionit ndërmjet dy bashkësive A, Bparaqitet ose në sistemin e koordinatave ose me anë të shigjetave. Në fig. 1.9. dhe fig. 1.10. është paragitur grafi i relacionit ρ1 ndërmjet bashkësive A, B.   colspan="2" style="width:100%;" Fig. 1.9. Fig. 1.10. 4. PASQYRIMET (FUNKSIONET) 4.1. KUPTIMI DHE LLOJET E PASQYRIMEVE (FUNKSIONEVE)        Pra, për pasqyrimin e bashkësisë Anë bashkësinë Bështë karakteristike që secilit element x$\scriptstyle \in$Ai shoqërohet pikërisht një element y$\scriptstyle \in$B. Shi për këtë arsye thuhet se grafet (a) dhe (b) në fig. 1.11. paraqesin pasqyrime (funk -

< 1 faqe - 2 - 3 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1 faqe - 2 - 3 >