Hipi Zhdripi i Matematikës/1234

T e o r e m a  1.3.3. - Limiti i herësit të dy vargjeve konvergjente $(a_{n})$, $(b_{n})$, ku $b\neq 0$, është i barabartë me herësin e limiteve të tyre, pra: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=$ ${\underline {\lim _{n\to \infty }a_{n}}}$ (9) ${\lim _{n\to \infty }b_{n}}$        V ë r t e t i m Ngase: $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\!-\!{\frac {a}{b}}\right|\!=\!\left|{\frac {a_{n}b\!-\!ab_{n}}{bb_{n}}}\right|\!=\!\left|{\frac {a_{n}b\!-\!ab\!+\!ab\!-ab_{n}}{bb_{n}}}\right|\!=\!\left|{\frac {b(a_{n}\!-\!a)\!+\!a(b\!-\!b_{n})}{bb_{n}}}\right|\!$         $\leqslant \left|{\frac {a_{n}-a}{b_{n}}}\right|\!+\!\left|{\frac {a}{b}}\right|\!\left|{\frac {b_{n}-b}{b_{n}}}\right|\!=\!\left|{\frac {1}{b_{n}}}\right|\!\left|a_{n}-a\right|\!+\!\left|{\frac {a}{b}}\right|\!\left|{\frac {1}{b_{n}}}\right|\!\left|b_{n}-b\right|\!$ dhe meqenëse për vargjet konvergjente $(a_{n}),(b_{n})$ për çdo $\varepsilon >0$ ekzistojnë dy numra $\mathbb {N} _{1}(=(\mathbb {N} _{1}(\varepsilon ))$ dhe $\mathbb {N} _{2}(=\mathbb {N} _{2}(\varepsilon ))$ të atillë që $(\forall n>\mathbb {N} _{1})|a_{n}-a|<|b_{n}|{\frac {\varepsilon }{2}}$ dhe $(\forall n>\mathbb {N} _{2})|b_{n}-b|<\left|{\frac {b}{a}}|b_{n}|{\frac {\varepsilon }{2}}\right|$, marrim ku $\mathbb {N} =\mathrm {max} (\mathbb {N} _{1},\mathbb {N} _{2})$. Pra, konkludojmë se formula (9) është e saktë.         Kur $a_{n}=c\ (n=1,2,\ldots )$, formula (9) merr trajtën: $\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{b_{n}}}=$ $c\!$ (9a) ${\overline {\lim _{n\to \infty }b_{n}}}$         Vargjet $(a_{n})$, $(b_{n})$ për të cilat vlen relacioni $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c,\quad c\neq 0$ (10) quhen vargje asimptotisht proporcionale dhe shënohen $(a_{n})\thicksim (b_{n})$, pra: $(a_{n})\thicksim (b_{n}){\overset {\mathrm {p{\ddot {e}}rk} }{\Leftrightarrow }}\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c,\quad c\neq 0$. (10a)         Kur $c=1$, vargjet $(a_{n})$, $(b_{n})$ quhet vargje asimptotisht të barabarta dhe shënohen $(a_{n})\thickapprox (b_{n})$, pra: $(a_{n})\thickapprox (b_{n}){\overset {\mathrm {p{\ddot {e}}rk} }{\Leftrightarrow }}\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$. (11)

< 1233 faqe - 1234 - 1235 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1233 faqe - 1234 - 1235 >