- T e o r e m a 1.3.3. - Limiti i herësit të dy vargjeve konvergjente
, , ku , është i barabartë me herësin e limiteve të tyre, pra:
|
|
(9)
|
|
- V ë r t e t i m Ngase:
![{\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\!-\!{\frac {a}{b}}\right|\!=\!\left|{\frac {a_{n}b\!-\!ab_{n}}{bb_{n}}}\right|\!=\!\left|{\frac {a_{n}b\!-\!ab\!+\!ab\!-ab_{n}}{bb_{n}}}\right|\!=\!\left|{\frac {b(a_{n}\!-\!a)\!+\!a(b\!-\!b_{n})}{bb_{n}}}\right|\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26bbe7970c813e2607a96849e3e9af7b4f5adccd)
-
![{\displaystyle \leqslant \left|{\frac {a_{n}-a}{b_{n}}}\right|\!+\!\left|{\frac {a}{b}}\right|\!\left|{\frac {b_{n}-b}{b_{n}}}\right|\!=\!\left|{\frac {1}{b_{n}}}\right|\!\left|a_{n}-a\right|\!+\!\left|{\frac {a}{b}}\right|\!\left|{\frac {1}{b_{n}}}\right|\!\left|b_{n}-b\right|\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b140331fc62f0df083a25f6b303a9b6565fbe1)
- dhe meqenëse për vargjet konvergjente
për çdo ekzistojnë dy numra dhe të atillë që
dhe
,
- marrim
- ku
. Pra, konkludojmë se formula (9) është e saktë.
- Kur
, formula (9) merr trajtën:
|
|
(9a)
|
|
- Vargjet
, për të cilat vlen relacioni
(10)
- quhen vargje asimptotisht proporcionale dhe shënohen
, pra:
. (10a)
- Kur
, vargjet , quhet vargje asimptotisht të barabarta dhe shënohen , pra:
. (11)
|