Hipi Zhdripi i Matematikës/1239

Këtu, në kllapa, kemi shumën e progresionit gjeometrik $\left(\mathrm {ku} \ a_{1}=1,\ q={\frac {1}{2}}\right)$, prandaj $a_{n}<1+{\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1+2\left[1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\right]=3-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n-1}$ prej nga shohim se $(\forall n\in \mathbb {N} )a_{n}<3$, çka do të thotë se vargu i dhënë është i kufizuar.         Konkludojmë:Vargu $(a_{n})$, kufiza e përgjithshme e të cilit shprehet me formulën $a_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ , është konvergjent. Limiti i tij shënohet me germën ,,$e\!$", pra: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$. (14) Ky numër transhendent ($e=2,718281828459\ldots$) merret për bazë në logaritmet natyrale që shënohen $\ln x(=\log _{e}x)\!$.        S h e m b u l l i  12. -  Të njehsohet $\left(1+{\frac {1}{n^{3}+4}}\right)^{5n^{3}+3}$.        Z g j i d h j e : Meqenëse: $\left(1+{\frac {1}{n^{3}+4}}\right)^{5n^{3}+3}=\left[\left(1+{\frac {1}{n^{3}+4}}\right)^{n^{3}+4}\right]^{\frac {5n^{3}+3}{n^{3}+4}}$ dhe $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n^{3}+4}}\right)^{n^{3}+4}=e,\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {5n^{3}+3}{n^{3}+4}}=5$, konkludojmë: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n^{3}+4}}\right)^{5n^{3}+3}=e^{5}$.        S h e m b u l l i  13. -  Të njehsohet $\lim _{n\to \infty }n[\ln(n+1)-\ln n]$.        Z g j i d h j e :        ${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n[\ln(n+1)-\ln n]&=\lim _{n\to \infty }n\ln {\frac {n+1}{n}}=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\\&=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=\ln e=1\end{aligned}}$.

< 1238 faqe - 1239 - 1240 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1238 faqe - 1239 - 1240 >