Hipi Zhdripi i Matematikës/1097

rast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse $p(A)=0$ , matrica $A$ quhet rrënja e polinomit $p(x)$ , kurse polinomi $p(x)$ quhet polinom anulues për matricën $A$ . S h e m b u l l i 6. - Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë. V ë r t e t i m Le të jenë $S=[d\delta _{ik}]_{1}^{n}$ dhe $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit $n$ . Meqë është: (a) $S\cdot A=(dE).A=d(E\cdot A)=dA$ ; dhe (b) $A\cdot S=A.(dE)=d(A\cdot E)=dA$ , prandaj konkludojmë se vlen relacioni $S.A=A\cdot S$ . S h e m b u l l i 7. - Të vërtetohet barazia ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&na^{n-1}\\0&a^{n}\end{bmatrix}},ku\ n\in N$ . V ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor, Për $n=2$ kemi: ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{2}&2a\\0&a^{2}\end{bmatrix}}$ . Tani supozojmë se barazia është e saktë për $n=m-1(\geqslant -2)$ : ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{m-1}={\begin{bmatrix}a^{m-1}&(m-1)a^{m-2}\\0&a^{m-1}\end{bmatrix}}$ . Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ del: ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{m}={\begin{bmatrix}a^{m-1}&(m-1)a^{m-2}\\0&a^{m-1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{m}&ma^{m-1}\\0&a^{m}\end{bmatrix}}$ . çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë $\forall n\in N$ . S h e m b u l l i 8. - Të zgjidhet ekuacioni matricial $2X+5E=3A$ , ku $E$ është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse ${\begin{bmatrix}3&2&0\\0&1&-2\\6&4&-1\end{bmatrix}}$ . Z g j i d h j e : Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara: $2X=3A-5E=3{\begin{bmatrix}3&2&0\\0&1&-2\\6&4&-1\end{bmatrix}}-5{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=$