Hipi Zhdripi i Matematikës/1216

Prerja e paraboloidit hiperbolik (52) me planin $z=k$ është hiperbola ${\frac {x^{2}}{p}}-{\frac {y^{2}}{q}}=2k,\ z=k$ . Për $k=0$ , prerja redukohet në dy drejtëza ${\frac {x}{p}}+{\frac {y}{q}}=0,\ z=0\ {\text{dhe}}\ {\frac {x}{p}}-{\frac {y}{q}}=0,\ z=0$ . Prerjet e paraboloidit hiperbolik (52) me plane $y=h(h\in \mathbb {R} )$ dhe $x=t(t\in \mathbb {R} )$ janë parabolat $x^{2}=2p\left(z+{\frac {h^{2}}{2q}}\right),\ y=h\ {\text{dhe}}\ y^{2}=2q\left({\frac {t^{2}}{2p}}-z\right),\ x=t$ . Prerja e paraboloidit hiperbolik barabrinjës (52a) me planin $z=k$ është hiperbola barabrinjëse $x^{2}-y^{2}=2pk,\ z=k$ . Për $k=0$ , prerja redukohet në dy drejtëza $x+y=0,\ z=0\ {\text{dhe}}\ x-v=0,\ z=0$ të cilat janë reciprokisht normale dhe paraqesin simetralet e këndeve ndërmjet boshteve koordinative $Ox$ dhe $Oy$ . Vërejtje: Paraboloidi hiperbolik, boshti i simetrisë i të cilit është boshti i ordinatave $Oy$ , respektivisht boshti i abshisave $Ox$ , e ka formën kanonike të ekuacionit ${\frac {x^{2}}{p}}-{\frac {z^{2}}{q}}=2y,\ {\text{respektivisht}}\ {\frac {y^{2}}{p}}-{\frac {z^{2}}{q}}=2x$ . S h e m b u l l i 25. - Të përcaktohet prerja e paraboloidit hiperbolik $x^{2}-4y^{2}=z$ me planin $\alpha :\ x+2y-3=0$ . Z g j i d h j e : Me eliminimin e abshisës $x$ prej sistemit të ekuacioneve ${\begin{array}{c}x+2y-3=0\\x^{2}-4y^{2}=z\\\end{array}}$ gjejmë projeksionin e prerjes në planin koordinativ $xOz$ $(3-2y)^{2}-4y^{2}=z\Rightarrow 12y+z=9$ . Meqë ky projeksion është drejtëz, konkludojmë se edhe prerja e kërkua: është drejtëz e cila shprehet si prerja e planeve $\alpha :\ x+2y-3=0\ {\text{dhe}}\ \beta :\ 12y+z-9=0$ , ku plani $\alpha$ është paralel me boshtin $Oz$ , kurse plani $\beta$ me boshtin $Ox$ . Forma kanonike e ekuacioneve të prerjes është: ${\frac {x-3}{-2}}={\frac {y}{1}}={\frac {z-9}{-12}}$ .