Hipi Zhdripi i Matematikës/1206

Z g j i d h j e : Normalja e përbashkët e dy drejtëzave mund të shprehet si prerje e dy planeve $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ , ku plani $\alpha _{1}$ kalon nëpër drejtëzën $\mathbf {d} _{1}$ , dhe është komplanar me vektorin ${\vec {a}}(={\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2})$ , kurse plani $\alpha _{2}$ kalon nëpër drejtëzën $\mathbf {d} _{2}$ dhe është komplanar me vektorin ${\vec {a}}$ , ku ${\vec {a}}_{1}$ , ${\vec {a}}_{2}$ janë vektorët drejtues të drejtëzave $\mathbf {d} _{1}$ , dhe $\mathbf {d} _{2}$ . Nga këto të dhëna konkludojmë se ekuacionet e planeve $\alpha _{1}$ , $\alpha _{2}$ janë: $\alpha _{1}:\left[({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})\times {\vec {a}}_{1}\right]\cdot {\vec {a}}=0,\ \alpha _{2}:\ \left[({\vec {r}}-{\vec {r}}_{2})\times {\vec {a}}_{2}\right]\cdot {\vec {a}}=0$ , ku ${\vec {a}}={\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}=13{\vec {i}}-9{\vec {j}}+{\vec {k}}$ . Në trajtën skalare këto ekuacione shprehen ${\begin{array}{\|lcr\|}x+5&y-1&z+1\\2&3&1\\13&-9&1\\\end{array}}=0,{\begin{array}{\|lcr\|}x-2&y&z+1\\1&2&5\\13&-9&1\\\end{array}}=0$ . ose $12x+11y-57z-8=0,\ 47x+64y-35z-129=0$ . Pra, sistemi i ekuacioneve ${\begin{array}{rcrcrcrcr}12x&+&11y&-&57z&-&8&=&0\\47x&+&64y&-&35z&-&129&=&0\\\end{array}}$ përcakton normalen e përbashkët të drejtëzave $\mathbf {d} _{1}$ , $\mathbf {d} _{2}$ . 4. SIPËRFAQET E GRADËS SË DYTË 4.1. EKUACIONI I PËRGJITHSHËM I SIPËRFAQES SË GRADËS SË DYTË Në sistemin koordinativ kartezian $0xyz$ ekuacioni i gradës së dytë me tri të panjohura $x,y,z$ : ${\begin{aligned}f(x,y,z)\!\equiv \!A_{1}x^{2}\!+\!A_{2}y^{2}\!+\!A_{3}z^{2}&\!+\!2B_{1}xy\!+\!2B_{2}xz\!+\!2B_{3}yz\!+\!\\&\!+\!2C_{1}x\!+\!2C_{2}y\!+\!2C_{3}z\!+\!D\!=\!0\\\end{aligned}}$ , (...45) paraqet sipërfaqen $\mathbf {S}$ që quhet sipërfaqja e gradës së dytë. Parafytyrime të qarta për formën dhe pozitën e sipërfaqes së gradës së dytë përftohen nga prerjet e saja me plane paralele me planet koordinative $x0y$ , $x0z$ , $y0z$ si dhe me vetë ato plane. Këto prerje, si lakore në hapësirë, përcaktohen me sisteme përkatëse ekuacionesh. Kështu, sistemi i ekuacioneve $f(x,y,z)=0\land z=k$ (...3c) përcakton lakoren $\mathbf {L}$ , e cila përftohet si prerja e sispërfaqes së gradës së dytë $\mathbf {S} :f(x,y,z)=0$ me planin $\alpha :z=k$ . Në mënyrë analoge përcaktohen prerjet e sipërfaqes $\mathbf {S}$ me plane të tjera dhe pastaj, në bazë të atyre prerjeve, përcaktohet forma dhe pozita e sipërfaqes së gradës së dytë.