Hipi Zhdripi i Matematikës/1119

ku të gjitha konstantet $c_{1},c_{2},\cdots ,c$ , nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për $f_{1},.f_{2}f_{r}$ dhe grupohen kufizat sipas panjohurave $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ , përftohet: $(c_{1}a_{11}\!+\!c_{2}a_{21}\!+\!\cdots \!+\!c_{r}a_{r1})x_{1}\!+\!(c_{1}a_{12}\!+\!c_{2}a_{22}\!+\!\cdots \!+\!c_{r}a_{r2})x_{2}\!+\!\cdots \!+\!$ $\!+\!(c_{1}a_{1r}\!+\!c_{2}a_{2r}\!+\!\dots c_{r}a_{rr})x_{r}\cdots \!+\!(c_{1}a_{1n}+c_{2}a_{2n}\!+\!\cdots \!+\!c_{r}a_{rn})x_{n}\equiv 0$ . Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene: ${\begin{array}{rcl}c_{1}a_{11}+c_{2}a_{21}+\cdots +c_{r}a_{r1}&=&0\\c_{1}a_{12}+c_{2}a_{22}+\cdots +c_{r}a_{r2}&=&0\\&\vdots &\\c_{1}a_{1r}+c_{2}a_{2r}+\cdots +c_{r}a_{rr}&=&0\\&\vdots &\\c_{1}a_{1n}+c_{2}a_{2n}+\cdots +c_{n}a_{rn}&=&0\\\end{array}}$ Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur $D\neq 0$ ) ka vetëm zgjidhje triviale: $c_{1}=0,c_{2}=0\cdots ,c_{r}=0$ , sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero $(D_{k}=0,\forall k=1,2,\cdots ,r$ ). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{r}$ nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m}$ , ekzistojnë $r$ nga to $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r}$ të cilat janë linearisht të pavarura. Tani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare $f_{r+1},f_{r+2},\cdots ,f_{m}$ janë kombinime lineare homogjene prej $r$ formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare $f_{j}\ (j>r)$ . Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit $r+1$ : $\Delta ={\begin{array}{\|rrrrr\|}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1r}&f_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2r}&f_{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rr}&f_{r}\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots &a_{jr}&f_{j}\\\end{array}}$ është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{r},f_{j}$ me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre $n$ përcaktorëve: ${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1r}&a_{1s}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2r}&a_{2s}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{r1}&a_{r2}&\cdots &a_{rr}&a_{rs}\\a_{j1}&a_{j2}&\cdots &a_{jr}&a_{js}\\\end{vmatrix}}x_{s}=x_{s}D_{s}\ (s=1,2,\ldots ,n)$