Hipi Zhdripi i Matematikës/1085

Numri kompleks $\scriptstyle \mathrm {x=re^{i\varphi }}$ logaritmhet sipas rregullës për logaritmin e prodhimit, rrjedhimisht: $\scriptstyle \mathrm {\ln e^{i\varphi }=\ln r+i\varphi } (...$ (...34) Pra, logaritmi i numrit kompleks $\scriptstyle \mathrm {z=re^{i\varphi }}$ është numri kompleks $\scriptstyle \mathrm {w>x+iy}$ , pjesa reale e të cilit është e barabartë me logaritmin e modulit $\scriptstyle \mathrm {(x=\ln r)}$ , kurse pjesa imagjinare e barabartë me argumentin $\scriptstyle \mathrm {(y=\varphi )}$ e numrit $z$ . S h e m b u l l i 5. - Të njehsohet: (a) $\scriptstyle \mathrm {\ln(1-i)}$ , (b) $\scriptstyle \mathrm {\ln(i^{i})}$ Z g j i d h j e : (a) $\scriptstyle \mathrm {\ln(1-i)=\ln {\sqrt {2}}e^{-1{\pi \over {4}}}=\textstyle {1 \over {2}}\scriptstyle \ln 2-i\textstyle {\pi \over 4}\scriptstyle =\textstyle {1 \over 4}\scriptstyle 2\ln 2-i\pi ;}$ (b) $\scriptstyle \mathrm {\ln i^{i}=\ln(e^{i{\pi \over {2}}})i=\ln(e^{-{\pi \over {2}}})=-\textstyle {\pi \over {2}}} .$ 4. ZGJIDHJA TRIGONOMETRIKE E EKUACIONIT BINOMIAL P ë r k u f i z i m i 4.1. - Ekuacioni i shkallës $n\!$ të formës: ${ax^{n}+b=0,\ ab\neq 0}$ (...35) quhet ekuacion binomial. Kur në ekuacionin binomial kufizën e lirë - $\textstyle \mathrm {\frac {b}{a}}$ e shprehim: $\textstyle \mathrm {\frac {b}{a}}$ përftohe $\scriptstyle {=}$ , nga marrim këto zgjidhje $\scriptstyle \mathrm {x_{k}={\sqrt[{n}]{\mathrm {r(\cos \varphi +i\sin \varphi )} }}\ k=0,1,2,...,n-1}$ , respektivisht $\scriptstyle \mathrm {x_{k}={\sqrt[{n}]{r}}{\big (}\cos \textstyle {\frac {\pi +2k\pi }{n}}\scriptstyle +i\sin \textstyle {\frac {\pi +2k\pi }{n}}{\big )}\scriptstyle \ k=0,1,2,...,n-1} .$ (...36) ku $\scriptstyle \mathrm {r=\left\|-\textstyle {b \over a}\right\|}$ Pra, ekuacioni binomial i shkallës $n$ ka gjithsëj $n$ zgjidhje. S h e m b u l l i 6. - Të zgjidhet ekuacioni binomial $\scriptstyle {=}$ . Z g j i d h j e : Duke aplikuar formulën (36) përftohet: $\scriptstyle \mathrm {x_{k}=\textstyle {\sqrt[{4}]{16 \over {m^{2}}}}{\Big (}\scriptstyle \cos \textstyle {{\pi +2k\pi } \over 4}\scriptstyle +i\sin \textstyle {{\pi +2k\pi } \over 4}{\Big )},\ \scriptstyle k=0,1,2,3}$