Logjika matematike, degë e re dhe e rëndësishme e matematikës bashkëkohore, lindi kah mesi i shekullit XIX[1]. Ajo pati ndikim të veçantë në zhvillimin e një sërë lëmenjve të rinj të matematikës bashkëkohore dhe njëherit kontribuoi në përsosjen dhe begatimin e gjuhës simbolike [2] dhe në zgjerimin e zbatimeve të matematikës në tërësi.
1.1. GJYKIMET DHE LLOJET E GJYKLMEVE
Në logjikën matematike gjykimi (dëftimi, thënia) merret për koncept themelor i cili në aspektin e saktësisë (vërtetësisë) i nënshtrohet ligjit të përjashtimit të së tretës dhe ka vetëm njërën prej dy vlerave: është i saktë (i vërtetë) ose është jo i saktë (jo i vërtetë). Kështu, p. sh.:"Katrori është paralelogram"; 2 > - 7; 1023; 5{0, 1, 2, ..., 9};janë gjykime të sakta, ndërkaq:"Diagonalja e katrorit është më e vogël se brinja e tij";1, 5; 3; (a + 1)2(a + 2) + 1janë gjykime jo të sakta.
Fjalët: i saktë dhe jo i saktë quhen vlerat e saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet[3] (lexo: te) dhe(lexo: jo te). Gjykimet zakonisht i emërtojmë me germa të vogla të alfabetit (p. sh. p, q, r, ...)dhe ato trajtohen si variabla gjykimesh, kurse vlerat e tyre i shënojmë me: v(p), v(q), v(r), ...të cilat janë konstante. Mirëpo, për arsye të thjeshtimit shpesh në vend të v(p), v(q), v (r), ...shkruhet vetëm p, q, r, ....
Përkufizimi deskriptiv e joformal i gjykimit shprehet kështu:
↑Themeluesi i logjikës matematike konsiderohet matematikani i shquar anglet George Boole (1815 - 1864).
↑Në matematikë konstantet, variablat (ndryshoret), relacionet, dhe veprimet (operacionet)e ndryshme shënohen me shenja, shifra dhe germa të ndryshme dhe quhen simbole. Simbolet e konstanteve dhe variablave si dhe simbolet që merren nga ato me anë të veprimeve të përkufizuara quhen shprehje matematike. Çdo lidhje e dy shprehjeve matematike të llojit të njëjtë me relacione quhet formulë matematike. Përkufizimin e relacionit binar dhe të veprimit binar e japim në pikën 3, përkatësisht 5.
↑Shenjai përgjan germës së parë të fjalës në gjuhën angleze true - i (e) vërtetë, i (e) i saktë.
Fjalia e cila e ka njërën nga vlerat e saktësisë - e saktë ose jo e saktë - quhet gjykim.
Pra ajo që e dallon cilindo gjykim pështë vetia se ai e ka njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë . Kështu themi : v (2 > - 7), v (5{0, 1, 2, . . ., 9), v (1, 5)1, v (15 : 4)etj . Mirëpo, në matematikë ekzistojnë edhe gjykime të atilla të cilat, ndonëse shprehin një pohim të caktuar, prapëseprapë ato, në bazë të variablave që e përmbajnë, nuk mund të konstatohet se a janë të sakta, apo jo të sakta . Gjykime të atilla quhen gjykime të hapura ose funksione gjykimesh. Funksione gjykimesh që i përmbajnë variablat x; x, y; x, y, z; etj.i shënojmë me F1(Y), F2(x, y), F3(x, y, z) etj.Nga këto që thamë del se funksione gjykimesh janë edhe formulat : 2x2 - x - 100, 3x + 5y < - 1, (n2 + n - 2)3, pq, F1 F2, ku secila prej tyre shndërrohet në gjykim, kur simbolet e variablave përkatëse x, y, n, p, q, F1F2zëvendësohen me objekte konkrete, me vlera të caktuara . Kjo metodë e shndërrimit të gjykimeve të hapura në gjykime quhet metoda e zëvendësimit (metoda e substitucionit) .
Kuptohet se, në përgjithësi, formulat matematike me variabla janë funksione gjykimesh, të cilat me metodën e zëvendësimit mund të shndërrohen ne gjykime.
Gjykimi quhet i thjeshtë, nëse asnjë pjesë e tij nuk paraget gjykim më vete, e gjykimi që nuk është i thjeshtë quhet gjykim i përbërë. P. sh . 7është gjykim i thjeshtë, ndërkaq „Nëse trekëndëshi ABC është dybrinjënjëshëm, këndet në bazën e tij janë të barabarta" - është gjykim i përbërë dhe përbëhet prej këtyre dy gjykimeve të thjeshta : „Trekëndëshi ABCështë dybrinjënjëshëm" dhe „Këndet në bazën e tij (e trekëndëshit ABC) janë të barabarta".
1 .2. VEPRIMET ME GJYKIME
Gjykimet e përbëra rëndom formohen prej gjykimeve të thjeshta me ndihmen e fjalëve: „jo", „dhe", „ose", „nëse . . ., atëhere . . .", „atëhere e vetëm atëherë" . Këto fjalë - shprehje quhen lidhëza logjike . Duke përdorur lidhëzat logjike në gjykime kryhen operacione apo veprime themelore logjike. Kuptohet se secili gjykim i ri që formohet prej gjykimeve të dhëna me anën e veprimeve themelore logjike e ka vlerën e vet të saktësisë. Saktësia e gjykimit të përftuar varet vetëm prej saktësisë së gjykimeve që atë e formojnë . Pikërisht kjo varësi shgyrtohet në algjebrën e gjykimeve, meqë asaj nuk i interesojnë përmbajtjet e gjykimeve të formuara, por vetëm vlera e saktësisë së tyre.
1.2.1. NEGACIONI (MOHIMI) I GJYKIMIT
Veprimi më i thjeshtë logjik që përdoret në gjykime është negacioni (mohimi), të cilit, në gjuhën e zakonshme, i përgjigjet fjalëza „jo" (ose shprehja „nuk është" ).
P ë r k u f i z i m i 1.2.1.1. - Negacioni i gjykimit p quhet gjykimi p (lexo : jo p ose nuk është p) i cili është i saktë, respektivisht jo i saktë kur gjykimi p është jo i saktë, respektivisht i saktë.
Simboliështë shenja e negacionit. Sipas përkufizimit del se tabela e saktësisë së negacionit duket kështu:
Negacioni () është një veprim unar në bashkësinë e gjykimeve, meqë me atë çdo gjykimi p, me vlerë të caktuar të saktësisë, i shogërohet gjykimi i përbërë pme vlerë të kundërt të saktësisë . Në pajtim me këtë del se negacioni i gjykimit p, d.m.th.( p) është p, andaj v((p )) v(p).
Pra, gjykimet i ( p), pkanë një vlerë të njëjtë të saktësisë. Gjykime të këtilla quhen ekuivalente[1] dhe shënohen me simbolin e ekuivalencës:
Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy (ose më shumë) gjykimeve çfarëdo me ndihmën e lidhëzëz „ dhe", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet konjuksion[2].
P ë r k u f i z i m i 1.2.2.1. - Konjuksioni i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p q (lexo : p dhe q),i cili është i saktë kur janë të sakta të dy gjykimet p, q.
Simboliështë shenja e konjuksionit. Tabela e saktësisë së konjuksionit duket kështu :
