Hipi Zhdripi i Matematikës/1125

Thuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave $t_{k}\ (k=1,2,...,n)$ e atillë që $\sum _{k=1}^{n}a_{ik}t_{k}=b_{i}\ (i=1,2,...,m)$ (...44a) paraqet një sistem i $m$ formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare (44). T e o r e m a 0 - e Kronecker - Capellit. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse $r(A)=r(B)$ . V ë r t e t i m Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që $r(A)=r(B)$ . Vërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë, $\cdots$ , shtyllën $n$ të matricës $B$ me numrat: $-t_{1},-t_{2},\ldots t_{n}$ dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente: ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&&b_{1}-\sum _{k=1}^{n}a_{1k}t_{k}\\\vdots &&&&&\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&&b_{m}-\sum _{k=1}^{n}a_{mk}t_{k}\\\end{bmatrix}}$ Të gjitha elementet e shtyllës $n+1$ të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se $r(A)=r(B)$ . Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti $r(A)=r(B)$ implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm. Vërtet, kur $r(A)=r(B)=r$ , atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$ të matricës $A$ . Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast $r$ rreshta të parë të matricës $A$ dhe matricës $B$ janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata $r$ rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në $r$ ekuacione lineare me $n$ të panjohura: ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+&a_{12}x_{2}&+&\cdots &+&a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}&+&a_{22}x_{2}&+&\cdots &+&a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&&&&&\vdots &\\a_{r1}x_{1}&+&a_{r2}x_{2}&+&\cdots &+&a_{rn}x_{n}&=&b_{r}\\\end{matrix}}$ ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen). Varësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste: 1°. Kur $r=n$ (d.m.th. kur $r(A)=n$ ), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e Cramerit ose me algoritmin e Gaussit; dhe