Hipi Zhdripi i Matematikës/1106

5.5. SISTEMI I TRI EKUACIONEVE LINEARE ME TRI TË PANJOHURA Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është: ${\begin{matrix}a_{11}x_{l}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{matrix}}$ (...32) ku numrat $a_{ik}\ (i,k=1,2,3)$ janë koeficientet, ndërsa numrat $b_{i}\ (i=1,2,3)$ janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori $D=\det[a_{ik}]_{1}^{3}$ quhet përcaktor kryesor, ndërsa $D_{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}},D2={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{vmatrix}},D3={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\end{vmatrix}}$ quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur $(t_{1},t_{2},t_{3})$ quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat $x_{1},x_{2},x_{3}$ zëvendësohen me $t_{1},t_{2},t_{3}$ . Dy sisteme ekuacionesh $S_{1},S_{2}$ me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta. Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë: 1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{11},A_{21},A_{31}$ dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë: ${\begin{matrix}(a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31})x_{1}+(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31})x_{2}+\\\qquad +(a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31})x_{3}=b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{31}.\end{matrix}}$ Meqenëse: ${\begin{matrix}a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}=D\\a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0\\a_{13}A_{11}+a_{23}A_{21}+a_{33}A_{31}=0\\\qquad b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{31}=D_{1}\\\end{matrix}}$ prandaj merret $Dx_{1}=D_{1}\,$ ; 2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët $A_{12},A_{22},A_{32}$ dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm: ${\begin{matrix}(a_{11}A_{12}+a_{21}A_{22}+a_{31}A_{32})x_{1}+(a_{12}A_{12}+a_{22}A_{22}+a_{32}A_{32})x_{2}\\\qquad +(a_{13}A_{12}+a_{23}A_{22}+a_{33}A_{32})x_{3}=b_{1}A_{12}+b_{2}A_{22}+b_{3}A_{32}.\end{matrix}}$