- Pra, konkludojmë:
 .
- T e o r e m a 3.2.4. - Derivati i prodhimit të dy.funksioneve është i barabartë me shumën e prodhimeve të secilit funksion me derivatin e funksionit tjetër, pra:
 . (41)
- V ë r t e t i m Le të marrim funksionin
 që është shprehur si prodhimi i dy funsioneve:  . Shtesa e këtij funksioni është:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&\!=\!u(x\!+\!\Delta x)\!\cdot \!v(x\!+\!\Delta x)\!-\!u(x)\!\cdot \!v(x)\\&\!=\!u(x\!+\!\Delta x)v(x\!+\!\Delta x)\!-\!u(x)v(x\!+\!\Delta x)\!+\!u(x)\!\cdot \!v(x\!+\!\Delta x)\!-\!u(x)\!\cdot \!v(x)\\&\!=\![u(x\!+\!\Delta x)\!-\!u(x)]\!\cdot \!v(x\!+\!\Delta x)\!+\!u(x)\!\cdot \![v(x\!+\!\Delta x)\!-\!v(x)]\\&\!=\!\Delta u\!\cdot \!v(x\!+\!\Delta x)\!+\!u(x)\!-\!\Delta v,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b07d379b5d58f0d6fdcc1480ca5730b10f79b66)
- kurse raporti i kësaj shtese me shtesën e argumentit:
 .
- Vlera kufitare e këtij raporti, kur
 , shprehet:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&\!=\![u(x)v(x)]'\!=\!\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\!=\!\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {\Delta u}{\Delta x}}\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot {\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right]=\\&\!=\!\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {\Delta u}{\Delta x}}v(x+\Delta x)\right]+\lim _{\Delta x\to 0}\left[u(x){\frac {\Delta v}{\Delta x}}\right]=\\&\!=\!\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}\lim _{\Delta x\to 0}v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta x}}=\\&\!=\!u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c035629b1348f7bf406f6b1a6d3b43541dd9bb6)
- Pra, konkludojmë: .
- P.sh., derivati i funksionit
 mund të njehsohet si derivati i prodhimit të funksioneve  dhe 
-
- këtu kemi marrë:
 .
- Duke aplikuar formulën për derivatin e prodhimit dhe metodën e induksionit të plotë matematikor e nxjerrim formulën për derivatin e funksionit fuqi
 .
- Vërtet, e dimë se për
 vlen :  . Supozojmë se për  është e saktë formula:
- konkludojmë se:
 ,
- çka do të thotë se
 . (39a)
|
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
200+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
300+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
400+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
500+
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
|
