Hipi Zhdripi i Matematikës/1199

e pastaj duke shfrytëzuar formulën (39) marrim: $\cos \varphi ={\frac {-1+1-2}{{\sqrt {4}}{\sqrt {4}}}}=-{\frac {1}{2}}\Rightarrow \varphi ={\frac {2\pi }{3}}$ , 3.4.2. EKUACIONET E NORMALES SË TËRHEQUR PREJ NJË PIKE NË NJË DREJTËZ Le të tërheqim një drejtëz normale prej pikës $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ në drejtëzën $\mathbf {d} :{\vec {r}}={\vec {r}}_{1}+\lambda {\vec {a}}$ . Këtë normale mund ta paraqesim si prerja e këtyre dy planeve: $\alpha :({\vec {r}}-{\vec {r}}_{2})\cdot {\vec {a}}=0\ {\text{dhe}}\ \beta :\left[({\vec {r}}-{\vec {r}}_{2})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\right]\cdot {\vec {a}}=0$ , ku plani $\alpha$ kalon nëpër pikën $M_{2}$ dhe është normal në drejtëzën $\mathbf {d}$ , kurse plani $\beta$ përmban pikën $M_{2}$ dhe drejtëzën $\mathbf {d}$ . Pra, pasi që prerja e këtyre dy planeve është një drejtëz e cila kalon nëpër pikën e dhënë $M_{2}$ dhe është normale në drejtëzën e dhënë $\mathbf {d}$ , konkludojmë se sistemi i ekuacioneve $({\vec {r}}-{\vec {r}}2)\cdot a=0\land \left[({\vec {r}}-{\vec {r}}_{2})\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\right]\cdot {\vec {a}}=0$ (...40) paraqet ekuacionet e normales së tërhequr prej pikës $M_{2}$ në drejtëzën $\mathbf {d}$ . Trajta skalare e këtij sistemi ekuacionesh është: $m(x-x_{2})+n(y-y_{2})+p(z-z_{2})=0$ ${\begin{array}{\|lll\|}x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\m&n&p\\\end{array}}=0$ . (...40a) S h e m b u l l i 21. - Të gjenden ekuacionet e normales se tërhequr prej pikës $M_{2}(3,2,1)$ në drejtëzën $\mathbf {d}$ : ${\frac {x-2}{1}}={\frac {y+3}{1}}={\frac {z}{2}}$ Z g j i d h j e : Shfrytëzojmë formulat (40a) dhe gjejmë se ekuacionet e normales së kërkuar janë $(x-3)+(y-2)+2(z-1)=0$ ${\begin{array}{\|lll\|}x-3&y-2&z-1\\1&5&1\\1&1&2\\\end{array}}=0$ ose ${\begin{array}{rcl}x+y+2z-7&=&0\\9x-v-4z-21&=&0\\\end{array}}.$