Hipi Zhdripi i Matematikës/1270

3.2. TEOREMAT PËR DERIVATET T e o r e m a 3.2.1. - Derivati i konstantes është i barabartë me zero, pra: $(c)'=0,\quad c=\mathrm {const.}$ (38) V ë r t e t i m Meqenëse këtu $(\forall x\in X)f(x)=c$ , prandaj $f(x+\Delta x)=c$ , $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=0$ , ndërkaq: $f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {0}{\Delta x}}=0$ , çka do të thotë se $(c)'=0$ . T e o r e m a 3.2.2 - Derivati i argumentit është i barabartë me $1$ , pra: $(x)'=1$ . (39) V ë r t e t i m Këtu $f(x)=x$ , $f(x+\Delta x)=x+\Delta x$ , dhe ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {x+\Delta x-x}{\Delta x}}={\frac {\Delta x}{\Delta x}}=1$ ndërsa vlera kufitare e këtij raporti, kur $\Delta x\rightarrow 0$ , është: $f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}1=1$ . Pra, konkludojmë: $(x)'=1$ . T e o r e m a 3.2.3. - Derivati i shumës algjebriketë dy e më tepër funksioneve është i barabartë me shumën algjebrike të derivateve të tyre, pra: $(u+v-w)'=u'+v'-w'$ . (40) V ë r t e t i m Le të marrim funksionin $f(x)$ që është shprehur si shumë algjebrike e tri funksioneve : $f(x)=u(x)+v(x)-w(x)$ . Shtesa e këtij funksioni është: ${\begin{aligned}\Delta y&=[u(x+\Delta x)+v(x+\Delta x)-w(x+\Delta x)]-[u(x)+v(x)-w(x)]\\&=[u(x+\Delta x)-u(x)]+[v(x+\Delta x)-v(x)]-[w(x+\Delta x)-w(x)]\\&=\Delta u+\Delta v-\Delta w,\end{aligned}}$ ndërsa raporti i kësaj shtese me shtesë e argumentit: ${\frac {\Delta y}{\Delta y}}={\frac {\Delta u+\Delta v-\Delta w}{\Delta x}}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}+{\frac {\Delta v}{\Delta x}}-{\frac {\Delta w}{\Delta x}}.$ Vlera kufitare e këtij raporti, kur $\Delta x\rightarrow 0$ , shprehet: ${\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {\Delta u}{\Delta x}}+{\frac {\Delta v}{\Delta x}}-{\frac {\Delta w}{\Delta x}}\right)=\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta x}}-\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta w}{\Delta x}}=u'(x)+v'(x)-w'(x)\end{aligned}}$