Hipi Zhdripi i Matematikës/1151

Pra, projeksioni i vektorit ${\vec {a}}$ në boshtin ${\vec {e}}$ është i barabartë me prodhimin skalar të atij vektori me ortin e boshtit. Fig. 5.16.         Gjithashtu, edhe projeksioni i një vektori në vektorin tjetër (fig. 5.16.) mund të shprehet me anën e prodhimit skalar të tyre dhe anasjellta: $pr._{\vec {b}}\ {\vec {a}}=|{\vec {a}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {b}}|}}$(...22a) nga del: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {b}}|pr._{\vec {e}}\ {\vec {a}}\ (=|{\vec {a}}|pr._{\vec {a}}\ {\vec {b}}).$(...20a)         Këto relacione njëherit shpjegojnë domethënien gjeometrike të prodhimit skalar të dy vektorëve. Ndërkaq, interpretimi mekanik i prodhimit skalar shpjegohet në këtë mënyrë:         Le të marrim se vektori ${\vec {F}}$ e paraqet forcën, vektori ${\vec {s}}$ trajektorin (zhvendosjen) e pikës materiale $M$, ndërsa $Q$ punën që kryen forca ${\vec {F}}$ gjatë zhvendosjes ${\vec {s}}$ të asaj pike materiale. Nga mekanika e dimë formulën e punës: $0=|{\vec {F}}||{\vec {s}}|\cos({\vec {F}}{\vec {s}})$ ose $0={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$, (...23) pra, konkludojmë: puna është e barabartë me prodhimin skalar të vektorit të forcës me vektorin e zhvendosjes.         Nga përkufizimi 4.1.l. dalin këto veti të prodhimit skalar:         1°. Kur ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$, ku ${\vec {a}}\neq 0\vartriangle {\vec {b}}\neq 0$, atëherë vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ janë normal $({\vec {a}}\perp {\vec {b}})$;         2°. Kur ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=ab$, vektorët ${\vec {a}}$ dhe ${\vec {b}}$ janë kolinearë. Pra, kushti që dy vektorët të jenë kolinearë është që prodhimi skalar i tyre të jetë i barabartë me prodhimin e moduleve.         Për prodhimin skalar të vektorëve vlejnë këto ligje:         (c1) Ligji komutativ: ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$;         (c2) Ligji asociativ ndaj faktorit skalar: $({\vec {a}}.\cdot {\vec {b}})m={\vec {a}}\cdot (m{\vec {b}})=(m{\vec {a}}){\vec {b}}$; dhe         (c3) Ligji distributiv: $({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$.         Këto ligje drejtpërsëdrejti vërtetohen me anë të relacionit përkufizues (20).         Vërejtje: (1) Prodhimi skalar i tre e më tepër vektorëve nuk përkufizohet, andaj nuk ka kurrfarë domethënie matematike shprehja ${\overrightarrow {a^{n}}},\forall n>2$;         (2) Në rastin e përgjithshëm nga relacioni ${\vec {a}}\cdot {\vec {c}}-={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$ nuk rezulton se ${\vec {a}}={\vec {b}}$, por këtu kemi këto implikacione ${\vec {a}}\cdot {\vec {c}}={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\Rightarrow ({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=0\Rightarrow {\vec {a}}-{\vec {b}}\perp {\vec {c}}$.

< 1150 faqe - 1151 - 1152 > 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 200+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 300+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 400+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 500+ 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

< 1150 faqe - 1151 - 1152 >