Hipi Zhdripi i Matematikës/1277

Tash duhet të vërtetojmë se limiti i fundit është i barabartë me $\ln a$ , pra: ${\begin{aligned}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}&={\begin{vmatrix}\mathrm {Z{\ddot {e}}vend:} \ a^{\Delta x}-1=y\Rightarrow \Delta x\ln a=\ln(1+y)\\y\rightarrow 0\ \mathrm {kur} \ \Delta x\rightarrow 0\end{vmatrix}}=\\&=\lim _{y\to 0}{\frac {\ln(1+y)}{\ln a}}=\ln a\cdot \lim _{y\to 0}{\frac {1}{\ln(1+y)^{1/y}}}\\&=\ln a\cdot {\frac {1}{\ln[\lim _{y\to 0}(1+y)^{1/y}]}}=\ln a{\frac {1}{\ln e}}=\ln a\end{aligned}}$ Pra, konkludojmë: $(a^{x})'=a^{x}\ln a$ . Kur $a=e$ , kjo formulë merrë trajtën: $(e^{x})'=e^{x}$ , (49) çka do të thotë se: derivati i funksionit eksponencial natyror $y=e^{x}$ është i barabartë me vetveten. Kur në formulat (48) dhe (49) argumentin konsiderojmë si argument ndërmjetës dhe e shënojmë me $u$ , del: $(a^{u})'=a^{u}\ln a\cdot u'\quad$ (48a) dhe $(e^{u})'=e^{u}u'$ . (49a) S h e m b u l l i 37. - Derivati i funksionit $y=a^{x^{2}}e^{3x}$ është: ${\begin{aligned}y'=(a^{x^{2}}e^{3x})'&=(a^{x^{2}})'e^{3x}+a^{x^{2}}(e^{3x})'=2xa^{x^{2}}e^{3x}\ln a+3a^{x^{2}}e^{3x}=\\&=a^{x^{2}}e^{3x}(2x\ln a+3)\end{aligned}}$ . T e o r e m a 3.6.2. - Derivati i funksionit logaritmik $y=\log _{a}x$ është i barabartë me ${\frac {1}{x}}\log _{a}e$ , pra: $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x}}\log _{a}e$ . (50) V ë r t e t i m Këtu shtesës së argumentit $\Delta x$ i përgjigjet shtesa e funksionit $\Delta y=\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}x=\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)$ ku raporti i këtyre shtesave është: ${\begin{aligned}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}&=\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{1/\Delta x}={\frac {\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)}{\Delta x}}=\\&=\log _{a}\left[\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{x/\Delta x}\right]^{1/x}={\frac {1}{x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{x/\Delta x}.\end{aligned}}$