Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër :
Matricat dhe përcaktorët Matricat Përcaktorët Sistemet e ekuacioneve Format lineare
Prodhimi i matricës me skalar
redakto
Prodhimi i matricës
A
=
[
a
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle {A=[a_{ik}]_{m,n}}}
α
{\displaystyle {\alpha }}
B
=
[
b
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle {B=[b_{ik}]_{m,n}}}
A
{\displaystyle {A}}
α
{\displaystyle {\alpha }}
[1]
α
⋅
[
a
i
k
]
m
,
n
⇔
p
e
¨
r
k
[
b
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle {\alpha \cdot [a_{ik}]_{m,n}\ {\overset {p{\ddot {e}}rk}{\Leftrightarrow }}\ [b_{ik}]_{m,n}}}
ku
b
i
k
=
α
⋅
a
i
k
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
.
m
;
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle {b_{ik}=\alpha \cdot a_{ik}(i=1,2,....m;k=1,2,...,n)}}
Prodhimi i matricës
A
=
[
1
3
5
1
−
3
−
2
]
{\displaystyle {A={\begin{bmatrix}1&3&5\\1&-3&-2\end{bmatrix}}}}
α
=
2
{\displaystyle {\alpha =2}}
2
⋅
[
2
3
5
1
−
3
−
2
]
=
[
4
6
10
2
−
6
−
4
]
{\displaystyle {2\cdot {\begin{bmatrix}2&3&5\\1&-3&-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4&6&10\\2&-6&-4\end{bmatrix}}}}
Matrica e kundërt
redakto
Shuma e dy matricave
redakto
Shuma e dy matricave
A
=
[
a
i
k
]
m
,
n
,
B
=
[
b
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{ik}]_{m,n},B=[b_{ik}]_{m,n}}
C
=
[
c
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle C=[c_{ik}]_{m,n}}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
[2]
[
a
i
k
]
m
,
n
+
[
b
i
k
]
m
,
n
=
p
e
¨
r
k
[
c
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle [a_{ik}]_{m,n}+[b_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[c_{ik}]_{m,n}}
ku
c
i
k
=
a
i
k
+
b
i
k
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
;
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle c_{ik}=a_{ik}+b_{ik}\ (i=1,2,...,m;k=1,2,...,n)}
Nga ky përkufizim del se mund të mblidhen vetëm matricat e tipit të njëjtë. Ky përkufizim mund të zgjerohet në shumën e
s
(
∈
N
)
{\displaystyle s(\in N)}
∑
j
=
1
s
[
(
a
j
)
i
k
]
m
,
n
=
p
e
¨
r
k
[
(
∑
j
=
1
s
a
j
)
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle \sum _{j=1}^{s}[(a_{j})_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[(\sum _{j=1}^{s}a_{j})_{ik}]_{m,n}}
Shuma e matricave
A
=
[
2
3
5
1
−
3
−
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\1&{-3}&{-2}\end{bmatrix}}}
b
=
[
0
−
1
4
3
0
5
]
{\displaystyle b={\begin{bmatrix}0&{-1}&4\\3&0&5\end{bmatrix}}}
është matrica:
C
=
[
2
2
9
4
−
3
3
]
{\displaystyle C={\begin{bmatrix}2&2&9\\4&{-3}&3\end{bmatrix}}}
Ndryshimi i matricave
redakto
Ndryshimi i matricave
A
=
[
a
i
k
]
m
,
n
,
B
=
[
b
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{ik}]_{m,n},B=[b_{ik}]_{m,n}}
C
=
[
c
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle C=[c_{ik}]_{m,n}}
A
,
B
{\displaystyle A,B}
[3]
[
a
i
k
]
m
,
n
−
[
b
i
k
]
m
,
n
=
p
e
¨
r
k
[
c
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle [a_{ik}]_{m,n}-[b_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[c_{ik}]_{m,n}}
ku
c
i
k
=
a
i
k
−
b
i
k
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
;
k
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle c_{ik}=a_{ik}-b_{ik}\ (i=1,2,...,m;k=1,2,...,n)}
Ndryshimi i matricave
A
=
[
1
−
i
7
i
2
+
i
2
1
+
i
0
]
,
B
=
[
3
8
i
−
i
1
i
2
]
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1-i&7i&2+i\\2&1+i&0\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}3&8i&-i\\1&i&2\end{bmatrix}}}
është matrica:
C
=
A
−
B
=
A
=
[
−
2
−
i
−
i
2
+
2
i
1
1
−
2
]
{\displaystyle C=A-B=A={\begin{bmatrix}-2-i&-i&2+2i\\1&1&-2\end{bmatrix}}}
Ligjet për mbledhjen dhe shumëzimin e matricës me skalar
redakto
Për mbledhjen e matricave dhe shumëzimin e matricës me skalar vlejnë këto ligje:
(a1 )
A
+
B
=
B
+
A
{\displaystyle A+B=B+A}
(a2 )
(
A
+
B
)
+
C
=
A
+
(
B
+
C
)
{\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)}
(a3 )
A
+
0
=
0
+
A
=
A
{\displaystyle A+0=0+A=A}
(a4 )
A
+
(
−
A
)
=
0
{\displaystyle A+(-A)=0}
(a5 )
1
⋅
A
=
A
{\displaystyle 1\cdot A=A}
(a6 )
0
⋅
A
=
0
{\displaystyle 0\cdot A=0}
(a7 )
α
(
β
A
)
=
(
α
β
)
A
{\displaystyle \alpha (\beta A)=(\alpha \beta )A}
(a8 )
(
α
+
β
)
A
=
α
A
+
β
A
{\displaystyle (\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A}
(a9 )
α
(
A
+
B
)
=
α
A
+
α
B
{\displaystyle \alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B}
Të vërtetojmë, p.sh. ligjin (a8 ):
Le të supozojmë se
A
=
[
a
i
k
]
m
,
n
{\displaystyle A=[a_{ik}]_{m,n}}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
Në bazë të formulave (7) dhe (8) kemi:
(
α
+
β
)
A
{\displaystyle (\alpha +\beta )A}
=
(
α
+
β
)
[
a
i
k
]
m
,
n
=
[
(
α
+
β
)
a
i
k
]
m
,
n
=
{\displaystyle =(\alpha +\beta )[a_{ik}]_{m,n}=[(\alpha +\beta )a_{ik}]_{m,n}=}
=
[
α
a
i
k
+
β
a
i
k
]
m
,
n
=
[
α
a
i
k
]
m
,
n
+
[
β
a
i
k
]
m
,
n
=
{\displaystyle =[\alpha a_{ik}+\beta a_{ik}]_{m,n}=[\alpha a_{ik}]_{m,n}+[\beta a_{ik}]_{m,n}=}
=
α
[
a
i
k
]
m
,
n
+
β
[
a
i
k
]
m
,
n
=
α
A
+
β
A
{\displaystyle =\alpha [a_{ik}]_{m,n}+\beta [a_{ik}]_{m,n}=\alpha A+\beta A}
pra përftuam:
(
α
+
β
)
A
=
α
A
+
β
A
{\displaystyle (\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A}
çka donim të vërtetonim.
Kombinimi linear homogjen i matricave
redakto
Le të supozojmë se
α
1
,
α
2
,
…
,
α
j
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{j}}
A
1
,
A
2
,
…
,
A
j
{\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{j}}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
kombinimi linear homogjen i matricave
α
1
A
1
+
α
2
A
2
+
.
.
.
+
α
j
A
j
{\displaystyle \alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+...+\alpha _{j}A_{j}}
mund të paraqitet si një matricë
A
{\displaystyle A}
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
Për shembull:
2
⋅
[
1
2
3
2
1
−
3
]
+
3
⋅
[
0
−
1
4
−
4
0
2
]
−
5
⋅
[
−
2
0
1
1
2
0
]
=
[
12
1
13
−
13
−
8
0
]
.
{\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&-3\end{bmatrix}}+3\cdot {\begin{bmatrix}0&-1&4\\-4&0&2\end{bmatrix}}-5\cdot {\begin{bmatrix}-2&0&1\\1&2&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}12&1&13\\-13&-8&0\end{bmatrix}}.}
Llojet e posaçme ë matricave katrore
</a href www.google.com /a>
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
![{\displaystyle {A=[a_{ik}]_{m,n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7d82fe7d8b2ecf88f31b1f48f1fdf360d7018d)
![{\displaystyle {B=[b_{ik}]_{m,n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cbd07e9a3d9eabff8af5a13708ccda64ece5cf)
![{\displaystyle {\alpha \cdot [a_{ik}]_{m,n}\ {\overset {p{\ddot {e}}rk}{\Leftrightarrow }}\ [b_{ik}]_{m,n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eedd72425eea18884860bf8e25e5125b0208730)
![{\displaystyle A=[a_{ik}]_{m,n},B=[b_{ik}]_{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942e6139158dc74926d4c1671b713660342547f6)
![{\displaystyle C=[c_{ik}]_{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8be9947e499f7d95a7df2d1b4d120fc67b5a254)
![{\displaystyle [a_{ik}]_{m,n}+[b_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[c_{ik}]_{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402bda5e468c56f3bff705dab4cad1efc5070a37)
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{s}[(a_{j})_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[(\sum _{j=1}^{s}a_{j})_{ik}]_{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d95273fd7782fa78d6f7174137931a234491860a)
![{\displaystyle [a_{ik}]_{m,n}-[b_{ik}]_{m,n}{\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}[c_{ik}]_{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a75701255076705d83c6058309515c15ef72ac7)
![{\displaystyle A=[a_{ik}]_{m,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65cfcc8e560a5b6976a2f03849dde406a97bba91)
![{\displaystyle =(\alpha +\beta )[a_{ik}]_{m,n}=[(\alpha +\beta )a_{ik}]_{m,n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10edb3a2d6132170486776a8b33da052679c40b5)
![{\displaystyle =[\alpha a_{ik}+\beta a_{ik}]_{m,n}=[\alpha a_{ik}]_{m,n}+[\beta a_{ik}]_{m,n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7050b8518d29cad73e842025b9796231d3353c4)
![{\displaystyle =\alpha [a_{ik}]_{m,n}+\beta [a_{ik}]_{m,n}=\alpha A+\beta A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eae7af435d0a2650a3d936d237ff718185c4c82)
