Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare



Matrica e ekuacionit linear dhe matrica e zgjeruar e tij

redakto

Le të marrim sistemin e   ekuacioneve lineare me   të panjohura:

 . (...44)

Në këtë rast matrica drejtkëndore   quhet matrica e sistemit të ekuacioneve lineare (44), ndërsa matrica drejtkëndore

  (...45)

quhet matrica e zgjeruar e atij sistemi.


Thuhet se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm nëse ekziston bashkësia e vlerave   e atillë që

 (...44a)

paraqet një sistem i   formulave të sakta. Bashkësia e vlerave të atilla quhet zgjidhja e sistemit të ekuacioneve lineare (44).

Teorema e Kronecker - Capellit

redakto

T e o r e m a: e Kronecker - Capellit. - Sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm atëherë dhe vetëm atëherë nëse  .

V ë r t e t i m: Hipoteza e teoremës është e nevojshme, meqë supozimi se sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm, implikon që  .

Vërtet, kur e shumëzojmë me radhë shtyllën e parë, të dytë, , shtyllën   të matricës   me numrat:   dhe pastaj ato prodhime i shtojmë shtyllës së fundit, përftohet kjo matricë ekuivalente:

 

Të gjitha elementet e shtyllës   të kësaj matrice janë të barabarta me zero (në bazë të formulave (44a)), prandaj konkludojmë se  .

Hipoteza e teoremës është e mjaftueshme, sepse kushti   implikon që sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm.

Vërtet, kur  , atëherë ekziston së paku një submatricë regulare e rendit   të matricës  . Le të supozojmë se submatrica e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës. Në këtë rast   rreshta të parë të matricës   dhe matricës   janë linearisht të pavarur, ndërkaq rreshtat tjerë në këto matrica janë kombinime lineare nga ata   rreshta të para. Nga kjo del se tani sistemi i ekuacioneve lineare (44) reduktohet në   ekuacione lineare me   të panjohura:

 

ndërsa ekuacionet tjera të atij sistemi mund të flaken (mënjanohen).

       Varësisht prej vlerës së numrit r, dallojmë këto dy raste:
1°. Kur   (d.m.th. kur  ), sistemi i ekuacioneve lineare (44) është i mundshëm dhe i caktuar, zgjidhjen e tij mund ta njehsojmë me formulat e Cramerit ose me algoritmin e Gaussit; dhe
2°. Kur   (d.m.th. kur  ), sistemi i ekuacioneve lineare është i mundshëm, por i pacaktuar dhe ai sistem, respektivisht sistemi (44b), mund të shprehet në formën:
 

Zgjidhja ( ) e këtij sistemi të ekuacioneve lineare varet nga të panjohurat   të cilat konsiderohen si parametra. Pra, në këtë rast sistemi i ekuacioneve lineare (44) ka pafund shumë zgjidhjesh.

Kur në sistemin e ekuacioneve lineare (44) të gjitha kufizat e lira janë të barabarta me zero ( ), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve lineare homogjene:

 .(...46)

Ky sistem ekuacionesh lineare homogjene ka vetëm zgjidhjen triviale  , nëse  .

Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene (46) ka, përveç zgjidhjes triviale, edhe pa fund shumë zgjidhjesh tjera, nëse  .

Shembuj

redakto

Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

 

Z g j i d h j e: Këtu  , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i pamundshëm.


Të shgyrtohet zgjidhshmëria e sistemit të ekuacioneve:

 

Z g j i d h j e: Këtu  , prandaj sistemi i ekuacioneve të dhëna është i mundshëm dhe është ekuivalett me këtë sistem ekuacionesh:

 

Ngase  , sistemi i ekuacioneve të dhënë është i caktuar dhe zgjidhja e tij është treshi i renditur ( ).


Të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit

 

Z g j i d h j e: Në këtë rast  , prandaj sistemi i dhënë është i mundshëm, por i pacaktuar. Ky sistem ekuacionesh reduktohet në sistemin prej dy ekuacioneve lineare me katër të panjohura:

 

të cilin e shprehim në këtë trajtë:

 

Në sistemin e fundit e marrim:  , ndërsa e njehsojmë:  , prandaj konstatojmë se zgjidhjet e sistemit të dhënë janë katërshet e renditura ( ).