Fuqia e matricave katrore

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Kur matrica katrore $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ shumëzohet me vetveten, përftohet katrori i saj që shënohet $A^{2}$. Ndërkaq fuqia $m$ e matricës katrore $A$ përkufizohet me relacionin:

$A^{m}\ {\overset {p{\ddot {e}}rk}{=}}\ {\begin{cases}\underbrace {AA...A} _{m-her{\ddot {e}}}&kur\ 1\neq m\in N\\A,&kur\ m=1\\E,&kur\ m=0\end{cases}}$.

Nga ky përkufizim rriedhin këto rregulla për fuqizimin e matricave:

(c₁) $A^{m}A^{n}=A^{m+n}$ ;

(c₂) $(A^{m})^{n}=A^{mn}$ ,

(c₃) $(AB)^{m}=A^{m}B^{m}$ , nëse matricat $A$, $B$ janë komutative.

Polinomi matricial

Shprehja e formës:

$p(X)=a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}E$, (...20)

ku $X$ dhe $E$ janë matrica katrore dhe matrica e njësishme të rendit të njëjtë, kurse $a_{0},a_{1},\cdots ,a_{n}$ numra çfarëdo, quhet polinom matricial.

Ekuacioni matricial

Ekuacioni i formës:

$a_{0}X^{n}+a_{1}X^{n-1}+\cdots +a_{n-1}X+a_{n}E=0$ (...21)

quhet ekuacion matricial.

Rrënja e polinomit matricial dhe polinomi anulues

Është e qartë se polinomi matricial $p(X)$ është matricë. Madje, në përgjithësi, polinomi matricial mund të përftohet kur në polinomin e zakonshëm

$p(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-l}x+a_{n}$

zëvendësohet në vend të variablit $x$ matrica $A$ dhe në vend të kufizës së lirë $a_{n}$ matrica skalare $a_{n}E$ e rendit të njëjtë me matricën $A$. Nëse me atërast përftohet zero-matricë, d.m.th. nëse $p(A)=0$, matrica $A$ quhet rrënja e polinomit $p(x)$, kurse polinomi $p(x)$ quhet polinom anulues për matricën $A$.

Shembuj

Të vërtetohet se matrica skalare është komutative me secilën matricë katrore të rendit të njëjtë.

V ë r t e t i m: Le të jenë $S=[d\delta _{ik}]_{1}^{n}$ dhe $A=[a_{ik}]_{1}^{n}$ çfarëdo një matricë skalare dhe çfarëdo një matricë katrore të rendit $n$. Meqë është:

(a) $S\cdot A=(dE).A=d(E\cdot A)=dA$ ; dhe

(b) $A\cdot S=A.(dE)=d(A\cdot E)=dA$ ,

prandaj konkludojmë se vlen relacioni $S.A=A\cdot S$.

---

Të vërtetohet barazia

${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&na^{n-1}\\0&a^{n}\end{bmatrix}},ku\ n\in N$ .

V ë r t e t i m: Përdorim metodën e induksionit të plotë matematikor,

Për $n=2$ kemi:

${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{2}&2a\\0&a^{2}\end{bmatrix}}$.

Tani supozojmë se barazia është e saktë për $n=m-1(\geqslant -2)$:

${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{m-1}={\begin{bmatrix}a^{m-1}&(m-1)a^{m-2}\\0&a^{m-1}\end{bmatrix}}$ .

Kur këtë barazi e shumëzojmë me matricën ${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}$ del:

${\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}^{m}={\begin{bmatrix}a^{m-1}&(m-1)a^{m-2}\\0&a^{m-1}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a&1\\0&a\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a^{m}&ma^{m-1}\\0&a^{m}\end{bmatrix}}$.

çka do të thotë se barazia e dhënë është e saktë $\forall n\in N$.

---

Të zgjidhet ekuacioni matricial

$2X+5E=3A$,

ku $E$ është matricë e njësishme e rendit të tretë, kurse

A = ${\begin{bmatrix}3&2&0\\0&1&-2\\6&4&-1\end{bmatrix}}$ .

Z g j i d h j e Në ekuacion i zëvendësojmë matricat e dhëna dhe njëherit i kryejmë operacionet e shënuara:

$2X=3A-5E=3{\begin{bmatrix}3&2&0\\0&1&-2\\6&4&-1\end{bmatrix}}-5{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=$

$={\begin{bmatrix}\;9&\ 6&\;0\\\;0&\;3&-6\\18&12&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-5&\;0&\;0\\\;0&-5&\;0\\\;0&\;0&-5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;4&\;6&\;0\\\;0&-2&-6\\18&12&-8\end{bmatrix}}$

respektivisht

$X={\begin{bmatrix}9&\;3&\;0\\0&-1&-3\\9&\;6&-4\end{bmatrix}}$

Transponimi i matricës