Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
|
Një metodë praktike për zgjidhjen e sistemit të
ekuacioneve Iineare me
të panjohura është ajo e Gaussit që quhet algoritmi i Gaussit. Të shohim tani këtë algoritëm.
Le të marrim sistemin:
- dhe le të supozojmë se
. Ekuacionin e parë të këtij sistemi e shumëzojmë me radhë me numrat:
dhe barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të dytë, ekuacionit të tretë, . . . , ekuacionit të fundit. Kështu merret sistemi:
Në këtë sistem e panjohura
është eliminuar nga të gjitha ekuacionet, përveç ekuacionit të parë. Përsërisim këtë veprim në sistemin (a) ku ekuacionin e dytë të tij e shumëzojmë me radhë me numrat:
dhe pastaj barazimet e përftuara i zbresim me radhë prej ekuacionit të tretë, ekuacionit të katërt, . . . , ekuacionit të fundit. Me këtë rast sistemi do ta merrë këtë trajtë:
Me përsëritjen e këtij algoritmi
herë do të përftohet sistemi:
(...34a)
i cili quhet sistemi trekëndor dhe është ekuivalent me sistemin (34). Zgjidhja e sistemit të fundit mund të reduktohet në zgjidhjen e ekuacionit linear me një të panjohur. Vërtet, kur vlerën e panjohurës
, të njehsuar nga ekuacioni i fundit, e zëvendësojmë në atë të parafundit, marrim ekuacionin linear me të panjohurën
. Kur vlerat e njehsuara të
dhe
i zëvendësojmë në ekuacionin e tretë nga fundi, përsëri marrim ekuacionin linear me një të panjohur - me të panjohurën
. Ky proces vazhdohet derisa edhe ekuacioni i parë i sistemit (34a) nuk reduktohet në një ekuacion me një të panjohur, nga njehsohet vlera e të panjohurës
. Pra, kjo metodë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve lineare quhet algoritmi i Gaussit.