Kuptimi dhe barazia e matricave

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Simboli

Matricat rëndom i emërtojmë me shkronja të mëdha të alfabetit:

${A,B,C,...,M,N,...}$

Matrica drejtkëndore

Përkufizimi

Matrice drejtkëndore quhet bashkësia prej ${mn}$ numrave ${a_{ik}\ (i=1,2,...,m;\ k=1,2,....n)}$ të radhitur në një tabelë të formës drejtkëndore e cila përmban ${m}$ rreshta dhe ${n}$ shtylla

Formulimi i përkufizimit

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn}\end{bmatrix}}$ ose shkurt ${[a_{ik}]_{m,n}\ }$ (...1)

Numrat ${a_{ik},\ (ku\ i=1,2,....m;k=1,2,....n)}$ quhen elementet e matricës (1), ku indeksi i parë i elementit shënon numrin e rreshtit në të cilin ndodhet elementi, kurse indeksi i dytë numrin e shtyllës. Kështu, p.sh. elementi ${a_{23}\,\!}$ ndodhet në rreshtin e dytë dhe në shtyllën e tretë, përkatësisht në prerjen e rreshtit të dytë me shtyllën e tretë.

Matrica komplekse

Matrica ${A}$ quhet matricë komplekse nëse së paku një element i saj është numër kompleks, ndërsa quhet matricë reaIe, nëse të gjitha elementet e saja janë numra realë.

Matricat e tipit të njëjtë

Dy matrica ${A,B}$ që kanë numër të barabartë rreshtash (${m}$) dhe numër të barabartë shtyllash (${n}$) quhen matrica të tipit të njëjtë ose formatës së njëjtë ${m\times n}$.

Matrica katrore

Matrica e tipit ${n\times n}$ quhet matricë katrore

Simboli

Matrica katrore shënohet

${A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{bmatrix}}}$ ose shkurt ${A=[a_{ik}]_{i}^{n}}$ (...2)

Rendi i matricës katrore

Matrica katrore ${A}$ që ka ${n}$ rreshta dhe ${n}$ shtylla quhet matricë e rendit ${n}$. Matrica katrore e rendit ${1}$ është identike me vetë elementin. Në matricën katrore (2) elemente ${a_{11}.a_{22}...a_{nn}}$ formojne diagonalen kryesore ndërkaq, elementet ${a_{1n},a_{2n-1},...,a_{n1}}$ diagonalen anësore të kësaj matrice.

Matrica njështyllore

Matrica e tipit ${n\times 1}$:

${\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{bmatrix}}$ ose shkurt ${[a_{i1}]_{n,1}}$ (...3)

quhet matricë njështyllore.

Matrica njërreshtore

Matrica e tipit ${1\times n}$:

${\begin{matrix}a_{11}a_{12}...a_{1n}\end{matrix}}$ ose shkrut ${[a_{1i}]_{1,n}}$ (...4)

quhet matricë njërreshtore.

Zero matrica

Matrica e tipit ${m\times n}$ që ka të gjitha elementet të barabarta me zero quhet zero-matricë dhe shënohet me ${[0]m,n}$ ose me ${0}$, pra:

${[a_{ik}]_{m,n}=0\ {\overset {p{\ddot {e}}rk}{\Leftrightarrow }}\ a_{ik}=0\forall i=1,2,...,m;\forall k=1,2,...,n}$ (...6)

Barazia e matricave

Përkufizimi

Dy matrica ${A=[a_{ik}]_{m,n,}B=[b_{ik}]_{m,j}}$ janë të barabarta atëherë dhe vetëm atëherë, kur elementet korresponduese të tyre janë të barabarta, pra:

${[a_{ik}]_{m,n}=[b_{ik}]_{m,n}\Leftrightarrow a_{ik}=b_{ik}}$ (...5)

${(i=1,2,...,m;k=1,2,..,n)}$.

Vetitë

Nga ky përkufizim del se vetëm matricat e tipit të njëjtë mund të jenë të barabarta, ku me atë rast duhet të plotësohen gjithsej ${mn}$ kushte.

Burime

Veprimet lineare me matrica