Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër :
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
Forma e përgjithshme e sistemit të
n
{\displaystyle n}
ekuacioneve (barazimeve) lineare me
n
{\displaystyle n}
të panjohura është:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
⋯
+
a
1
n
x
n
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
2
n
x
n
=
b
2
⋮
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
=
b
n
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{matrix}}}
ku njëlloj, sikurse për sistemin (32), përkufizohet përcaktori kryesor
D
{\displaystyle D}
, përcaktorët karakteristikë
D
k
(
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle D_{k}(k=1,2,\cdots ,n)}
dhe zgjidhja
(
t
1
,
t
2
,
⋯
,
t
n
)
{\displaystyle (t_{1},t_{2},\cdots ,tn)}
e këtij sistemi. Gjithashtu, në mënyrë analoge, nxirren formulat e Cramerit respektivisht i shumëzojmë me radhë ekuacionet e këtij sistemi me kofaktorët
A
i
k
{\displaystyle A_{ik}}
të elementeve
a
i
k
{\displaystyle a_{ik}}
, ku
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}
he pastaj ato ekuacione i mbledhim njëherit duke grupuar kufizat sipas të panjohurave
x
i
{\displaystyle x_{i}}
;
(
∑
i
=
1
n
a
i
j
A
i
k
)
x
1
+
(
∑
i
=
1
n
a
i
2
A
i
k
)
x
2
+
⋯
+
(
∑
i
=
1
n
a
i
k
A
i
k
)
x
k
+
⋯
{\displaystyle (\sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik})x_{1}+(\sum _{i=1}^{n}a_{i2}A_{ik})x_{2}+\cdots +(\sum _{i=1}^{n}a_{ik}A_{ik})x_{k}+\cdots }
+
(
∑
i
=
1
n
a
i
n
A
i
k
)
x
n
=
(
∑
i
=
1
n
b
i
A
i
k
)
.
{\displaystyle +(\sum _{i=1}^{n}a_{in}A_{ik})x_{n}=(\sum _{i=1}^{n}b_{i}A_{ik}).}
Tani duke pasur parasysh formulat:
(a)
∑
i
=
1
n
a
i
j
A
i
k
=
0
,
∀
j
≠
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik}=0,\forall j\neq k}
;
(b)
∑
i
=
1
n
a
i
j
A
i
k
=
D
,
∀
j
=
k
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{ij}A_{ik}=D,\forall j=k}
;
(c)
∑
i
=
1
n
b
i
A
i
k
=
D
k
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}b_{i}A_{ik}=D_{k},k=1,2,\cdots ,n}
barazimi i fundit merr këtë formë:
(
∑
i
=
1
n
,
a
i
k
A
i
k
)
x
k
=
∑
i
=
1
n
b
i
A
i
k
{\displaystyle (\sum _{i=1}^{n},a_{ik}A_{ik})x_{k}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}A_{ik}}
respektivisht
D
x
3
k
=
D
k
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle Dx_{3}k=D_{k},\ k=1,2,\cdots ,n}
Kur supozojmë se
D
≠
0
{\displaystyle D\neq 0}
, përftohen formulat e Cramerit :
x
3
k
=
D
k
D
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle x_{3}k={\frac {D_{k}}{D}},\ k=1,2,\cdots ,n}
(...35)
Nëse në sistemin (34) kufizat e lira janë të barabarta me zero (
b
i
=
0
,
∀
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle b_{i}=0,\forall i=1,2,\cdots ,n}
), sistemi i tillë quhet sistem i ekuacioneve homogiene . Kur
D
≠
0
{\displaystyle D\neq 0}
, ky sistem ka vetëm zgjidhjen triviale :
x
31
=
0
,
x
2
=
0
,
⋯
,
x
n
=
0.
{\displaystyle x_{31}=0,\;x_{2}=0,\cdots ,x_{n}=0.}
Të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
x
1
+
2
x
2
+
3
x
3
+
4
x
4
=
5
2
x
1
+
x
2
+
2
x
3
+
3
x
4
=
1
3
x
1
+
2
x
2
+
x
3
+
2
x
4
=
1
4
x
1
+
3
x
2
+
2
x
3
+
x
4
=
−
5
{\displaystyle {\begin{matrix}\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=\ 5\\2x_{1}+\ x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=\ 1\\3x_{1}+2x_{2}+\ x_{3}+2x_{4}=\ 1\\4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}\ =-5\\\end{matrix}}}
Zgjidhje Përcaktorët e këtij sistemi janë:
D
=
−
20
,
D
1
=
40
,
D
2
=
−
40
,
D
3
=
60
,
D
4
=
−
60
{\displaystyle D=-20,D_{1}=40,D_{2}=-40,D_{3}=60,D_{4}=-60}
.
Me aplikimin e formulave të Cramerit përftohet :
x
1
=
−
2
,
x
2
=
2
,
x
3
=
−
3
{\displaystyle x_{1}=-2,x_{2}=2,x_{3}=-3}
dhe
x
4
=
3
{\displaystyle x_{4}=3}
, prandaj katërshi i renditur (
−
2
,
2
;
−
3
;
3
{\displaystyle -2,2;-3;3}
) është zgjidhja e sistemit të dhënë.