Format lineare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Le të jetë dhënë matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$. Nga kjo matricë i veçojmë $p$ rreshta dhe $p$ shtylla, ku $1\leqslant p\leqslant min(m,n)$. Elementet që ndodhen në prerjen e këtyre rreshtave dhe shtyllave formojnë një matricë katrore të rendit $p$ e cila quhet submatrica katrore e matricës $A$. Kuptohet matricës drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$ i përkasin submatricat katrore të rendeve të ndryshme, prej rendit $1$ e deri te rendi $p=min(m,n)$. Pra, rendi më i lartë i submatricave katrore të matricës $A$ është $p=min(m,n)$. Kur $m\leqslant n$, atëherë matricës $A$ i përkasin gjithsej (${\begin{smallmatrix}m\\n\end{smallmatrix}}$) submatrica katrore të rendit $m$, ndërkaq kur $n\leqslant m$, asaj i përkasin (${\begin{smallmatrix}n\\m\end{smallmatrix}}$) submatrica katrore të rendit $n$.

Rangu i matricës

Përkufizimi

Matrica $A=[a_{ik}]_{m,n}$ ka rangun $r$ nëse ndërmjet submatricave katrore të kësaj matrice ekziston së paku një submatricë regulare e rendit $r$, ndërsa submatricat katrore të rendit më të lartë se $r$, edhe nëse ekzistojnë, janë singulare. Rangu i zero-matricës është $0$.

Simboli

Rangu i matricës $A$ simbolikisht shënohet me $r(A)$ ose $rang(A)$.

Shembuj

P.sh. rangu i matricës

$A={\begin{bmatrix}2&\ 5&\ 8&2&3\\1&\ 4&\ 4&1&2\\1&-2&\ 4&1&0\\3&\ 1&12&3&2\\\end{bmatrix}}$

është $r=3$, pasi që të gjitha submatricat katrore të rendit të katërt të saj janë singulare, kurse ekziston një submatricë regulare e rendit tretë. E atillë është b.f. submatrica:

${\begin{bmatrix}\ 4&1&2\\-2&1&0\\\ 1&3&2\\\end{bmatrix}}$

Forma lineare

Përkufizimi

Shprehja e formës

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}$ (...41)

quhet forma lineare prej $n$ variablave $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$.

Simboli

Format lineare zakonisht emërtohen me $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m}$.

Shpehja

Kështu bashkësia (sistemi) e $m$ formave lineare shënohet

${\begin{array}{rcl}f_{1}&\equiv &a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\f_{2}&\equiv &a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\&\vdots &\\f_{m}&\equiv &a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}.\\\end{array}}$. (...41)

Vetit

       Në këtë rast matrica drejtkëndore $A=[a_{ik}]_{m,n}$ quhet matricë e bashkësisë së formave lineare (41a).

Varshmëria e formave lineare

Përkufizimi

Format lineare $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{m}$ janë linearisht të varura, nëse ekzistojnë konstantet $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{m}$, prej të cilave të paktën njëra është e ndryshme nga zero, në mënyrë që

$c_{1}f_{1}+c_{2}f_{2}+\cdots +c_{m}f_{m}\equiv 0$. (...42)

       Nëse ky identitet është i saktë vetëm kur të gjitha konstantet $c_{1},c_{2},\cdots ,c_{m}$janë të barabarta me zero, format lineare $f_{1},f_{2},\cdots ,f_{m}$ janë linearisht të pavarura.