Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër :
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
Lidhur me zgjidhshmërinë e sistemit të ekuacioneve lineare (32) do të dallojmë këto tri raste
1°. Kur
D
≠
0
{\displaystyle D\neq 0}
, sistemi i ekuacioneve lineare (32) është i mundshëm dhe i caktuar, sepse
D
i
D
(
i
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle {\frac {D_{i}}{D}}(i=1,2,3)}
ekzistojnë.
2°. Kur
D
=
0
{\displaystyle D=0}
dhe
∃
A
i
k
≠
0
>
(
i
,
k
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle \exists A_{ik}\neq 0>(i,k=1,2,3)}
sistemi i ekuacioneve lineare (32) është ekuivalent me këtë sistem të ekuacioneve:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\end{matrix}}}
(...32a)
|
a
11
a
12
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
a
22
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
a
31
a
32
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\end{vmatrix}}=0}
Vërtet, kur supozojmë se treshi i renditur
(
t
1
,
t
2
,
t
3
)
{\displaystyle (t_{1},t_{2},t_{3})}
është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32), ai është zgjidhja edhe i sistemit të ekuacioneve (32a), sepse ekuacioni i tretë i këtij sistemi, në atë rast, reduktohet në këtë formulë të saktë:
|
a
11
a
12
0
a
21
a
22
0
a
31
a
32
0
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&0\end{vmatrix}}=0}
Ndërkaq, kur supozojmë se treshi i renditur
(
t
1
,
t
2
,
t
3
)
{\displaystyle (t_{1},t_{2},t_{3})}
është zgjidhja e sistemit të ekuacioneve (32a) dhe
A
33
≠
0
{\displaystyle A_{33}\neq 0}
, ekuacioni i tretë i këtij sistemi merr këtë trajtë:
(
a
31
t
1
+
a
32
t
2
+
a
33
t
3
−
b
3
)
A
33
=
0
o
s
e
a
31
t
1
+
a
32
t
2
+
a
33
t
3
−
b
3
=
0
,
{\displaystyle (a_{31}t_{1}\!+\!a_{32}t_{2}\!+\!a_{33}t_{3}\!-\!b_{3})A_{33}\!=\!0\ ose\ a_{31}t_{1}\!+\!a_{32}t_{2}\!+\!a_{33}t_{3}\!-\!b_{3}\!=\!0,\,}
çka do të thotë se
(
t
1
,
t
2
,
t
3
)
{\displaystyle (t_{1},t_{2},t_{3})}
është zgjidhja edhe e sistemit (32). D.m.th. në kushtet e përmendura sistemet (32) dhe (32a) janë ekuivalente. Nga ekuivalenca e tyre rrjedh se shqyrtimi i zgjidhshmërisë së sistemit (32) mund të bëhet nëpërmjet të sistemit (32a). Për këtë qëllim e zhvillojmë përcaktorin në ekuacionin e tretë të sistemit (32a) në kofaktor sipas elementeve të shtyllës së tretë, ku pas reduktimit merret:
(
a
13
A
13
+
a
23
A
23
+
a
33
A
33
)
x
3
=
b
1
A
13
+
b
2
A
23
+
b
3
A
33
⇒
D
x
3
=
D
3
,
{\displaystyle (a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33})x_{3}=b_{1}A_{13}+b_{2}A_{23}+b_{3}A_{33}\Rightarrow Dx_{3}=D_{3},}
sepse koeficientet e
x
1
{\displaystyle x_{1}}
dhe
x
2
{\displaystyle x_{2}}
janë të barabarta me zero. Në bazë të relacionit të fundit përfundojmë:
(a) Nëse
D
3
≠
0
{\displaystyle D_{3}\neq 0}
, sistemi (32) është i pamundshëm;
(b) Nëse
D
3
=
0
{\displaystyle D_{3}=0\,}
, sistemi (32) është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në dy ekuacione me tri të panjohura:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\end{matrix}}}
Në këtë sistem, kur
x
3
{\displaystyle x_{3}}
e trajtojmë si parametër, kemi:
x
1
=
|
b
1
−
a
13
x
3
a
12
b
2
−
a
23
x
3
a
22
|
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
,
x
2
=
|
a
11
b
1
−
a
13
x
3
a
21
b
2
−
a
23
x
3
|
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
{\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}={{\begin{vmatrix}b_{1}-a_{13}x_{3}&a_{12}\\b_{2}-a_{23}x_{3}&a_{22}\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}&,&x_{2}={{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}-a_{13}x_{3}\\a_{21}&b_{2}-a_{23}x_{3}\end{vmatrix}} \over {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}}\end{matrix}}}
3°. Kur
D
=
0
,
A
i
k
=
0
(
∀
i
,
k
=
1
,
2
,
3
)
{\displaystyle D=0,A_{ik}=0\ (\forall i,k=1,2,3)}
dhe
∃
a
i
k
≠
0
{\displaystyle \exists a_{ik}\neq 0}
, ekuivalent me:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
|
a
11
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
−
b
1
a
21
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
−
b
2
|
=
0
|
a
11
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
−
b
1
a
31
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
−
b
3
|
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\a_{21}&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}-b_{2}\end{vmatrix}}=0\\{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}-b_{1}\\a_{31}&a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}-b_{3}\end{vmatrix}}=0\end{matrix}}}
(...32b)
Ekuivalenca e këtyre dy sistemeve vërtetohet sikurse në rastin e mëparshëm.
Dy ekuacionet e fundit të sistemit (32b) mund të shprehen në këtë mënyrë
(
a
11
a
21
−
a
11
a
21
)
x
1
+
(
a
11
a
22
−
a
12
a
21
)
x
2
+
(
a
11
a
23
−
a
13
a
21
)
x
3
=
a
11
b
2
−
a
21
b
1
(
a
11
a
31
−
a
11
a
31
)
x
1
+
(
a
11
a
32
−
a
12
a
31
)
x
2
+
(
a
11
a
33
−
a
13
a
31
)
x
3
=
a
11
b
3
−
a
31
b
1
{\displaystyle {\begin{matrix}(\!a_{11}a_{21}\!-\!a_{11}a_{21}\!)x_{1}\!+\!(a_{11}a_{22}\!-\!a_{12}a_{21}\!)x_{2}\!+\!(a_{11}a_{23}\!-\!a_{13}a_{21}\!)x_{3}\!=\!a_{11}b_{2}\!-\!a_{21}b_{1}\\(\!a_{11}a_{31}\!-\!a_{11}a_{31}\!)x_{1}\!+\!(a_{11}a_{32}\!-\!a_{12}a_{31}\!)x_{2}\!+\!(a_{11}a_{33}\!-\!a_{13}a_{31}\!)x_{3}\!=\!a_{11}b_{3}\!-\!a_{31}b_{1}\end{matrix}}}
prej nga, duke marrë parasysh kushtet, del:
|
a
11
b
1
a
21
b
2
|
=
0
|
a
11
b
1
a
31
b
3
|
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}=0&&{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}=0\end{matrix}}}
D.m.th.:
(a) Nëse të paktën njëri prej përcaktorëve
|
a
11
b
1
a
21
b
2
|
o
s
e
|
a
11
b
1
a
31
b
3
|
{\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}&ose&{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}\end{matrix}}}
nuk është i barabartë me zero, sistemi (32) është i pamundshëm;
(b) Nëse të dy këta përcaktorë janë të barabartë me zero sistemi është i mundshëm, por i pacaktuar dhe reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
.
{\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}.\,}
Për vlerat e ndryshme të parametrit
m
{\displaystyle m}
të shqyrtohet zgjidhshmëria e sistemit:
m
x
1
+
x
2
+
x
3
=
1
x
1
+
m
x
2
+
x
3
=
m
x
1
+
x
2
+
m
x
3
=
m
2
.
{\displaystyle {\begin{matrix}mx_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\x_{1}+mx_{2}+x_{3}=m\\x_{1}+x_{2}+mx_{3}=m^{2}.\end{matrix}}}
Zgjidhje Meqë në këtë rast
D
=
(
m
−
1
)
2
(
m
+
2
)
,
D
1
=
−
(
m
−
1
)
2
(
m
+
1
)
,
D
2
=
(
m
−
1
)
2
,
D
3
=
(
m
−
1
)
2
(
m
+
1
)
2
{\displaystyle D\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(m\!+\!2)\!,\!D\!_{1}\!=\!-\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(\!m\!+\!1\!)\!,\!D\!_{2}\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!,\!D\!_{3}\!=\!(\!m\!-\!1\!)\!^{2}\!(\!m\!+\!1\!)\!^{2}}
ku ylerat karakteristike të parametrit
m
{\displaystyle m}
për përcaktorin kryesor janë
−
2
{\displaystyle -2}
dhe
1
{\displaystyle 1}
, kurse për përcaktorët karakteristikë
−
1
{\displaystyle -1}
dhe
1
{\displaystyle 1}
, pra:
(a) Për
∀
m
≠
−
2
∨
1
:
D
≠
0
{\displaystyle \forall m\neq -2\vee 1:D\neq 0}
, sistemi i dhënë është i mundshëm ku
x
1
=
m
+
1
m
+
2
,
x
2
=
1
m
+
2
,
x
3
=
(
m
+
1
)
2
m
+
2
,
{\displaystyle x_{1}={\frac {m+1}{m+2}},\ x_{2}={\frac {1}{m+2}},\ x_{3}={\frac {(m+1)^{2}}{m+2}},}
(b) Për
m
=
−
2
:
D
=
0
,
∃
A
i
k
≠
0
{\displaystyle m=-2:D=0,\exists A_{ik}\neq 0}
(p.sh.
A
33
=
3
{\displaystyle A_{33}=3}
) dhe
D
3
=
9
≠
0
{\displaystyle D_{3}=9\neq 0}
, prandaj sistemi i dhënë është i pamundshëm;
(c) Për
m
=
1
:
D
=
0
,
A
i
k
=
0
(
∀
i
,
k
=
1
,
2
,
3
)
,
∃
a
i
k
≠
0
{\displaystyle m=1:D=0,A_{ik}=0\ (\forall i,k=1,2,3),\exists a_{ik}\neq 0}
(p.sh.
a
11
=
1
{\displaystyle a_{11}=1}
) dhe
|
a
11
b
1
a
21
b
2
|
=
|
1
1
1
1
|
=
0
,
|
a
11
b
1
a
31
b
3
|
=
|
1
1
1
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{21}&b_{2}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}}=0,\;{\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}\\a_{31}&b_{3}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}}=0}
prandaj sistemi i dhënë reduktohet në një ekuacion linear me tri të panjohura:
x
1
+
x
2
+
x
3
=
1
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=1}
. Zgjidhjet e këtij ekuacioni janë
(
1
−
m
−
n
,
m
,
n
)
{\displaystyle (1-m-n,m,n)}
ku
m
,
n
{\displaystyle m,n}
janë dy parametra çfarëdo.