Shumëzimi i matricave dhe fuqia e matricës katrore

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Prodhimi i dy matricave

redakto

Përkufizimi

redakto

Prodhimi i dy matricave   quhet matrica   elementet e së cilës shprehen me relacionet:

 

[1]

Formulimi

redakto
  (...18)

Vetitë

redakto

Nga ky përkufizim del:

(1) Elementi   i prodhimit të matricave   është i barabartë me shumën algjebrike të prodhimeve të elementeve të rreshtit „ " të matricës   me elementet korresponduese të shtyllës „ " të matricës  . Tabela që vijon paraqet skemën e njehsimit të këtij elementi:
 
(2) Prodhimi i dy matricave   ekziston atëherë dhë vetëm atëherë, nëse numri i shtyllave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Prandaj del se gjithmonë ekziston prodhimi i matricave katrore të rendit të njëjtë.

Përjashtimi i ligjit të komutacionit

redakto

Kështu fare nuk mund të flitet për ligjin e komutacionit lidhur me shumëzimin e matricave drejtkëndore, ose të matricës drejtkëndore me matricën katrore, sepse me ndërrimin e renditjes së faktorëve, eliminohet kushti i nevojshëm që numri i shtyllave të faktorit të parë të jetë i barabartë me numrin e rreshtave të faktorit të dytë. Madje, në përgjithësi, as shumëzimi i dy matricave katrore nuk është veprim komutativ. Vërtet, nëse e marrim se   janë çfarëdo dy matrica katrore të rendit   atëherë elementi   i prodhimit   është:

 

ndërsa elementi përkatës   i prodhimit   është:

 

nga del se, në rastin e përgjithshëm:

 

.

Matricat komutative

redakto

Mirëpo, kur për dy matrica katrore   vlen ligji i komutacionit  , ato quhen matrica komutative.

Shembuj

redakto

Le të jenë dhënë matricat

 

Të njehsohen prodhimet   dhe  .

Z g j i d h j e Duke aplikuar formulën (18) përftojmë:

 , dhe  

Të vërtetohet se matrica e njësishme   e rendit   është element neutral lidhur me shumëzimin e matricave katrore të rendit  . respektivisht se  .

V ë r t e t i m: Duke përdorur formulat (14) dhe (18) njehsojmë elementin që ndodhet në prerjen e rreshtit   me shtyllën   për prodhimet   dhe  :

 .

Pra, meqë   konkludojmë se është i saktë pohimi.

Ligjet për shumëzimin e matricave

redakto

Për shumëzimin e matricave vlejnë këto ligje:

(b1)  ;
(b2)  ;
(b3)  ;
(b4)  .

Vërtetimi i ligjit të asociacionit

redakto

Të vërtetojmë, p.sh. ligjin e asociacionit:  .

Le të supozojmë se matricat A, B, C janë:

 .

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit   me shtyllën   të matricës   është:

 .

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit   me shtyllën   të matricës   është:

 .

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit   me shtyllën   të matricës   është:

 .

Elementi që ndodhet në prerjen e rreshtit   me shtyllën   të matricës   është:

 .

Meqenëse është i saktë relacioni

 ,

konkludojmë se shumëzimi i matricave është veprim asociativ. Fuqia e matricave katrore

Burime

redakto
  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).