Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët
Matricat
Përcaktorët
Sistemet e ekuacioneve
Format lineare
|
T e o r e m a: Nëse rangu i matricës së bashkësisë së formave lineare
është
, ekzistojnë
forma lineare linearisht të pavarura, ndërsa të gjitha forma tjera janë kombinime lineare homogjene prej atyre
formave lineare të pavarura.
V ë r t e t i m: Meqenëse
, ekziston së paku një submatricë regulare e rendit
. E zëmë se një submatricë e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës:
|
Le të supozojmë, të kundërtën e pohimit të teoremës, se format
janë linearisht të varura:
ku të gjitha konstantet
, nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për
dhe grupohen kufizat sipas panjohurave
, përftohet:
.
Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene:
Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur
) ka vetëm zgjidhje triviale:
, sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero
). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet
nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare
, ekzistojnë
nga to
të cilat janë linearisht të pavarura.
Tani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare
janë kombinime lineare homogjene prej
formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare
. Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit
:
është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen
me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre
përcaktorëve:
- 1°. Kur
, atëherë
, sepse dy shtyllat e tyre janë identike; :identike,
- 2°. Kur
, atëherë
, sepse rangu i matricës
është
. :është
.
Pra, konkludojmë:
.
E zhvillojmë tani përcaktorin
në kofaktorë sipas elementeve të shtyllës së fundit:
nga përftohet:
,
ku
janë këto konstante
, kurse
. Pra,
është forma lineare e varur.