Pavarshmëria e formave lineare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare



T e o r e m a: Nëse rangu i matricës së bashkësisë së formave lineare është , ekzistojnë forma lineare linearisht të pavarura, ndërsa të gjitha forma tjera janë kombinime lineare homogjene prej atyre formave lineare të pavarura.

V ë r t e t i m: Meqenëse , ekziston së paku një submatricë regulare e rendit . E zëmë se një submatricë e atillë ndodhet në këndin e epërm të matricës:

       

Le të supozojmë, të kundërtën e pohimit të teoremës, se format janë linearisht të varura:

ku të gjitha konstantet , nuk janë të barabarta me zero. Kur në këtë identitet zëvendësohen shprehjet për dhe grupohen kufizat sipas panjohurave , përftohet:

.

Nga ky identitet del ky sistem i ekuacioneve homogjene:

Në p. 5.6. kemi konstatuar se sistemi i tillë (kur ) ka vetëm zgjidhje triviale: , sepse përcaktorët karakteristikë të tij janë të barabartë me zero ). Meqenëse ky rezultat është në kundërshtim me supozimin se të gjitha konstantet nuk janë të barabarta me zero, andaj konkludojmë se në bashkësinë e formave lineare , ekzistojnë nga to të cilat janë linearisht të pavarura.

Tani duhet të vërtetojmë se format tjera lineare janë kombinime lineare homogjene prej formave të pavarura. Le të bëjmë këtë për formën lineare . Për të provuar këtë duhet të vërtetojmë se përcaktori i rendit :

është i barabartë me zero. Kur në shtyllën e fundit të këtij përcaktori zëvendësohen me shprehjet përkatëse, ai mund të paraqitet si shuma e këtyre përcaktorëve:

1°. Kur , atëherë , sepse dy shtyllat e tyre janë identike; :identike,
2°. Kur , atëherë , sepse rangu i matricës është . :është .

Pra, konkludojmë: .

E zhvillojmë tani përcaktorin në kofaktorë sipas elementeve të shtyllës së fundit:

nga përftohet:

,

ku janë këto konstante , kurse . Pra, është forma lineare e varur.