Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare


Forma e përgjithshme e sistemit të tri ekuacioneve (barazimeve) lineare me tri të panjohura është:

(...32)

ku numrat janë koeficientet, ndërsa numrat janë kufizat e lira të këtij sistemi. Përcaktori

quhet përcaktor kryesor, ndërsa

quhen përcaktorë karakteristikë të sistemit (32). Treshi i renditur quhet zgjidhja (rrënja) e sistemit (32), nëse secili ekuacion i sistemit bëhet formulë e saktë kur të panjohurat zëvendësohen me . Dy sisteme ekuacionesh me të panjohura të njëjta quhen sisteme ekuivalente nëse i kanë zgjidhje të barabarta.

Formula e Cramerit

redakto

Formulat për zgjidhjen e sistemit (32) nxirren në këtë mënyrë:

1°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët   dhe pastaj i mbledhim dhe i grupojmë:
 
Meqenëse:
 
prandaj merret
 ;
2°. Ekuacionet e sistemit i shumëzojmë me radhë me kofaktorët   dhe pastaj i mbledhim dhe igrupojm:
 
Në këtë barazim koeficientet pranë   dhe   janë zero, koeficienti i   është  , kurse kufiza e lirë është  ,prandaj
 ;
3°. Në fund, ekuacionet e sistemit (32) i shumëzojmë me radhë me kofaktorët   dhe pastaj i mbledhim:
 
Këtu koeficientet e   dhe   janë zero, koeficienti i   është  , kurse kufiza e lirë është e barabartë me  ,prandaj kemi:
 .
Kështu: nëse  , zgjidhja e sistemit (32) caktohet me formulat:
  (...33)
që quhen formula të Cramerit[1].

Shembuj

redakto

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

 

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

 
Me zbatimin e formulave (33) marrim:
 .

Me formulat e Cramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:

 

Zgjidhje:Përcaktorët e sistemit janë:

 

Supozojmë se   dhe zbatojmë formulat e Cramerit:

 

pra, treshi i renditur   paraqet zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve të dhëna.

  1. 6) Sipas emrit të matematikanit të shquar zviceran Gabriel Cramer (17U4-1752).