Përcaktimi praktik i rangut të matricës

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Matricat dhe përcaktorët


Matricat


Përcaktorët


Sistemet e ekuacioneve


Format lineare



Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.

Forma kanonike e matricës

redakto

Matrica e tipit   të formës

 

quhet forma kanonike e matricës. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë   mund të transformohet në formën kanonike (43).

Transformimi i matricës në formë kanonike

redakto

Me këtë qëllim le të shohim matricën  . Supozojmë se   (në rast se ky kusht nuk plotësohet,  , atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës   e shumëzojmë me numrin   përftohet matrica ekuivalente:

 

Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:

 

dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë,  , shtyllës  . Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:

 

Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat   dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë,   , rreshtit  . Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:

 

Supozojmë se   dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën

 

me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:

 

Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë   nuk transformohet në formën kanonike (43).

Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj.

Shembuj

redakto

Për shembull:

 
(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me   dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
 
(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me   dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
 
(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
 
(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me  )
 
(Shumëzojmë shtyllën e dytë me   dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
 
(Shumëzojmë rreshtin e dytë me   dhe   dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
 
(Shumëzojmë rreshtin e katërt me -1 dhe permutojmë me rreshtin e tretë)
 

Pra, përftuam matricën në formën kanonike, nga del se  .