Përcaktimi praktik i rangut të matricës

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Në p. 7.1. kemi pa se, në rastin e përgjithshëm, çfarëdo një matrice $A$ i përkasin një numër i konsiderueshëm submatricash katrore, prandaj përcaktimi i rangut të matricës nëpërmjet të submatricave katrore korresponduese është mjaft i gjatë dhe jopraktik. Të shohim tani këtu një mënyrë praktike të përcaktimit të rangut të matricës.

Forma kanonike e matricës

Matrica e tipit $m\times n$ të formës

${\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0&\\0&1&0&\cdots &0&\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &&&\ddots &&\\0&0&0&\cdots &1&\\&0&&&&0\\\end{bmatrix}}$

quhet forma kanonike e matricës. Do të shohim se me anën e transformimeve elementare çdo matricë $A$ mund të transformohet në formën kanonike (43).

Transformimi i matricës në formë kanonike

Me këtë qëllim le të shohim matricën $A=[a_{ik}]_{m.n}(\neq 0)$. Supozojmë se $a_{11}\neq 0$ (në rast se ky kusht nuk plotësohet, $a_{11}=0$, atëherë permutohet rreshti (shtylla) i parë me ndonjë rresht (shtyllë) tjetër, ku elementi i parë nuk është i barabartë me zero). Kur rreshtin e parë të matricës $A$ e shumëzojmë me numrin ${\frac {1}{a_{11}}}$ përftohet matrica ekuivalente:

${\begin{bmatrix}1&{\frac {a_{12}}{a_{11}}}&\cdots &{\frac {a_{1n}}{a_{11}}}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&&\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Shtyllën e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat:

$-{\frac {a_{12}}{a_{11}}},\ -{\frac {a_{13}}{a_{11}}},\ \cdots ,\ -{\frac {a_{1n}}{a_{11}}}$

dhe pastaj me radhë ia shtojmë shtyllës së dytë, të tretë, $\cdots$, shtyllës $n$. Kështu përftohet matrica ekuivalente e formës:

${\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\a_{21}&b_{22}&b_{23}&\cdots &b_{2b}\\\vdots &&&&\\a_{m1}&b_{m2}&b_{m3}&&b_{mn}\end{bmatrix}}$

Rreshtin e parë të kësaj matrice me radhë e shumëzojmë me numrat $-a_{21},-a_{31},\ldots -a_{m1}$ dhe me radhë ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, $\cdots$ , rreshtit $m$. Me këtë rast përftohet matrica ekuivalente e formës:

${\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&b_{22}&b_{23}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &&&&\\0&b_{m2}&b_{m3}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Supozojmë se $b_{22}\neq 0$ dhe këtë algoritëm e përsërisim në matricën

${\begin{bmatrix}b_{22}&b_{23}&\cdots &b_{2n}\\b_{32}&b_{33}&\cdots &b_{3n}\\\vdots &&&\\b_{m2}&b_{m3}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}$

me ç,rast do të përftohet matrica ekuivalente e formës:

${\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&c_{33}&\cdots &c_{3n}\\\vdots &&&&\\0&0&c_{m3}&\cdots &c_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Këtë veprim e vazhdojmë (përsërisim) derisa matrica e dhënë $A=[a_{ik}]_{m,n}$ nuk transformohet në formën kanonike (43).

Rangu i matricës kanonike (43) është i barabartë me numrin e njësheve në diagonalën kryesore të saj.

Shembuj

Për shembull:

$A={\begin{bmatrix}1&\ 4&\ 4&1&2\\2&\ 5&\ 8&2&3\\1&-\!2&\ 4&1&0\\3&\ 1&12&3&2\end{bmatrix}}$	(Shumëzojmë shtyllën e parë me radhë me $-4,-4,-1,-2$ dhe ia shtojmë shtyllës së dytë, së tretë, së katërt, së pestë)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&\ 0&0&0&\ 0\\2&-\!3&0&0&-\!1\\1&-\!6&0&0&-\!2\\3&-\!11&0&0&-\!4\end{bmatrix}}$	(Shumëzojmë rreshtin e parë me radhë me $-2,-1,-3$ dhe ia shtojmë rreshtit të dytë, të tretë, të katërt)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&\ 0&0&0&\ 0\\0&-3&0&0&-1\\0&-6&0&0&-2\\0&-11&0&0&-4\\\end{bmatrix}}$	(Permutojmë shtyllën e pestë me të tretën dhe pastaj me të dytën)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&\ 0&\ 0&0&0\\0&-1&-3&0&0\\0&-2&-6&0&0\\0&-4&-\!11&0&0\\\end{bmatrix}}$	(Shumëzojmë shtyllën e dytë dhe të tretë me $-1$)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&0&\ 0&0&0\\0&1&\ 3&0&0\\0&2&\ 6&0&0\\0&4&11&0&0\\\end{bmatrix}}$	(Shumëzojmë shtyllën e dytë me $-3$ dhe ia shtojmë shtyllës së tretë)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&0&\ 0&0&0\\0&1&\ 0&0&0\\0&2&\ 0&0&0\\0&4&-1&0&0\\\end{bmatrix}}$	(Shumëzojmë rreshtin e dytë me $-2$ dhe $-4$ dhe ia shtojmë rreshtit të tretë, përkatësisht të katërt)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&0&\ 0&0&0\\0&1&\ 0&0&0\\0&0&\ 0&0&0\\0&0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}$	(Shumëzojmë rreshtin e katërt me -1 dhe permutojmë me rreshtin e tretë)
$\thicksim {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}$

Pra, përftuam matricën në formën kanonike, nga del se $r(A)=3$.