Matricat katrore të posaçme

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Matricat dhe përcaktorët Matricat Kuptimi dhe barazia e matricave Simboli Matrica drejtkëndore Matrica komplekse Matricat e tipit të njëjtë Matrica katrore Matrica njështyllore Matrica njërreshtore Zero matrica Barazia e matricave Veprimet lineare me matrica Llojet e posaçme të matricave katrore Shumëzimi i matricave Fuqia e matricave katrore Transponimi i matricës Matricat regulare, singulare dhe inverse Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Matricat katrore të posaçme Matrica e Hermitit Rangu i matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Forma kanonike e matricës Matrica e zgjeruar Përcaktorët Kuptimi i tyre Vetit e përcaktorëve Njehësimi i vlerës së përcaktrorëve Matrica e adjunguar dhe përcaktori i adjunguar Sistemet e ekuacioneve Sistemi i tri ekuacioneve lineare me tri të panjohura Formula e Cramerit Zgjidhëshmëria e sistemit të ekuacioneve lineare Sistemi i n ekuacioneve lineare me n të panjohura Algoritmi i Gaussit Format lineare Forma matriciale e sistemit të ekuacioneve lineare Format lineare Rangu i matricës Pavarshmëria e formave lineare Pavarshmëria e rreshtave dhe e shtyllave të matricës Matricat ekuivalente Transformimet elementare të matricës Përcaktimi praktik i rangut të matricës Forma kanonike e matricës Teorema e Kronecker-Capellit Matrica e zgjeruar

Në p. 3. kemi përmend disa Iloje të posaçme të matricave katrore. Të plotësojmë atë listë edhe me këto matrica katrore të posaçme:

1°. Matrica katrore $A$ quhet matricë involutive nëse $A^{2}=E$.

2°. Matrica regulare $A$ quhet matricë ortogonale nëse $A'=A^{-1}$.

3°. Matrica katrore $A$ quhet matricë e pjerrët-simetrike nëse $A=-A'$.

4°. Matrica katrore komplekse $A$ quhet matricë e Hermitit nëse $A'=A$, ku me $A'$ është shënuar matrica e transponuar e matricës $A$ me elemente të konjuguara.

5°. Matrica katrore komplekse $A$ quhet matricë unitare nëse ${\bar {A}}'=A^{-1}$.

6°. Matrica katrore $A(\neq 0)$ është matricë idempotente nëse $A^{n}=A$, kurse është matricë nilpotente nëse $A^{n}=0\ (1<n\in N)$.

Matrica e Hermitit

Nëse $A$ është matricë katrore, të vërtetohet se $A+A'$ është matricë simetrike, kurse $A+{\bar {A}}'$ është matricë e Hermitit.

V ë r t e t i m: Në bazë të ligjeve për transponimin e matricave (p. 4.1.) kemi:

(a) $(A+A')'=A'+(A')'=A'+A$, d.m.th. $(A+A')'=A+A'$, prandaj konkludojmë se $A+A'$ është matricë simetrike;

(b) $(A+{\bar {A}}')'=A'+({\bar {A}}')'=A'+{\bar {A}}$,

${\overline {A'+{\bar {A}}}}={\bar {A}}'+({\overline {\bar {A}}})={\bar {A}}'+A$,

d.m.th.:

$({\overline {A+{\bar {A}}'}})'=({\overline {A'+{\bar {A}}}})={\bar {A}}'+A$,

prandaj konkludojmë se $A+A'$ është matricë e Hermitit.

Format lineare