Dyshja e renditur dhe prodhimi kartezian i bashkësive

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet
Bashkësitë

Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Bashkësinë prej dy elementeve a, b mund ta formojmë duke shkruar {a, b} ose {b, a} , sepse rendi i numërimit të elementeve nuk e cilëson bashkësinë, por vetëm përbërja e saj. Prandaj:

(a, b):{a, b}{b, a}.

Ndërkaq, (a, b) quhet dyshja e renditur (rregulluar), ku a është elementi i parë, e b i dytë, andaj

(a, b)(b, a), nëse ab.

Relacioni përkufizues i barazisë së dy dysheve të renditura (a, b), (c, d) është :

(a, b)(c, d) Barazpër.PNG acbd. (...17)

Në mënyrë analoge përkufizohet edhe treshi i renditur (a, b, c).

Prodhimi kartezianRedakto

PërkufizimiRedakto

Prodhimi kartezian [1] i bashkësive A, B quhet bashkësia e dysheve të renditura (a, b) me vetinë a A, b B[2] , pra

Formulimi i përkufizimitRedakto

A B  {(a, b) a A, b B}. (...18)

SimboliRedakto

Katrori kartezianRedakto

P.sh.: {a, b, c}   {c, d}   {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)} . Prodhimi A A quhet katrori kartezian (ose katrori i Dekartit) dhe shënohet me A2 , pra :

A2 {(a, b) a, b A}. (...19)

Paraqitja e grafitRedakto

Në paraqitjen e grafit të prodhimit kartezian A B në sistemin koordinativ xOy elementet e tij (a, b) trajtohen si pika, ku a quhet abshisa, kurse b ordinata e pikës. Kështu p.sh.:

  • (1) Në sistemin koordinativ xOy pikat e zeza paraqesin grafin e prodhimit kartezian {1, 2, 3}   {2, 3, 4, 5}  ; ndërsa
  • (2) Në sistemin koordinativ xOy fusha e hijesuar paraqet grafin e prodhimit kartezian të bashkësive A {x a<x<b} dhe B {y c<y<d}.

Prodhimi kartezian i n-bashkësiveRedakto

Prodhimi kartezian i tri bashkësive A, B, C përkufizohet me këtë relacion :

A   B   C   {(a, b, c) a   A, b B, c C}. (...20)

FormulimiRedakto

A1 A1 A3  . . .  An  Ak.

SimboliRedakto

Prodhimi kartezian i n bashkësive A1, A2 , A3 , . . . , An shënohet me simnbolin  Ak (lexo : pi Ak , k prej 1 deri në n).

VetitëRedakto

Ligji distributiv ndaj unionitRedakto

Të vërtetohet relacioni

A   (B C) (A B) (A C)

që shpreh ligjin distributiv të prodhimit kartezian ndaj unionit.

       V ë r t e t i m : Skema e vërtetimit:
  • (1) Vërtetohet se A (B C) (A B) (A C),
  • (2) Vërtetohet se (A B) (A C) A (B C) ; dhe
  • (3) Nxirret konkluzioni se A (B C) (A B) (A C).

Le të supozojmë se (a, b) është cilido element i bashkësisë A   (B C), nga marrim këto ekuivalenca:

(a, b) A (B C)
  (a A, b B C)
  {a A, b B   b C)
  (a A, b B)   (a A, b C)
  (a, b) A B   (a, b) A C
  (a, b) (A B) (A C).

Meqë ekuivalenca

(a, b) A (B C) (a, b) (A B) (A C)

vlen për secilën dyshe të renditur të bashkësisë A (B C), pra :

( (a, b) A (B C)) (a, b) A (B C} (a, b) (A B) (A C)

konkludojmë se janë të sakta inkluzionet (1) dhe (2). Nga këto inkluzione, e në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim se

A (B C) (A B) (A C),

çka duhej të vërtetohej .


  1. 12) Prodhimi kartezian quhet edhe prodhim i kombinuar ose prodhim i Dekartit, sipas emrit të matematikanit të shquar francez Rene Descartes (1596-1650).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).