Dyshja e renditur dhe prodhimi kartezian i bashkësive

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Kuptimi i tyre Përcaktimi Relacioni i përkatëshmërisë Bashkësia boshe Bashkësitë numerike Nënbashkësistë Mbibashkësitë Nënbashkësia e vërtet Koncepti i bashkësive Barazia e bashkësive Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Veprimet me bashkësi Prerja e bashkësive Unioni i bashkësive Diferenca e bashkësive Ligji i De Morganit Diferenca simetrike e bashkësive Ligjet themelore të veprimeve me bashkësi Dyshja e renditur Prodhimi kartezian Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Bashkësinë prej dy elementeve a, b mund ta formojmë duke shkruar {a, b} ose {b, a} , sepse rendi i numërimit të elementeve nuk e cilëson bashkësinë, por vetëm përbërja e saj. Prandaj:

($\scriptstyle {\forall }$a, b):{a, b}$\scriptstyle {=}${b, a}.

Ndërkaq, (a, b) quhet dyshja e renditur (rregulluar), ku a është elementi i parë, e b i dytë, andaj

(a, b)$\scriptstyle {\neq }$(b, a), nëse a$\scriptstyle {\neq }$b.

Relacioni përkufizues i barazisë së dy dysheve të renditura (a, b), (c, d) është :

(a, b)$\scriptstyle {=}$(c, d) a$\scriptstyle {=}$c$\scriptstyle \land$b$\scriptstyle {=}$d. (...17)

Në mënyrë analoge përkufizohet edhe treshi i renditur (a, b, c).

Prodhimi kartezian

Përkufizimi

Prodhimi kartezian i bashkësive A, B quhet bashkësia e dysheve të renditura (a, b) me vetinë a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B , pra

Formulimi i përkufizimit

A$\scriptstyle {\times }$B {(a, b)$\scriptstyle \mid$a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B}. (...18)

Katrori kartezian

P.sh.: {a, b, c} $\scriptstyle {\times }$ {c, d} $\scriptstyle {=}$ {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, c), (c, d)} . Prodhimi A$\scriptstyle {\times }$A quhet katrori kartezian (ose katrori i Dekartit) dhe shënohet me A² , pra :

A²$\scriptstyle {=}${(a, b)$\scriptstyle \mid$a, b$\scriptstyle \in$A}. (...19)

Paraqitja e grafit

Në paraqitjen e grafit të prodhimit kartezian A$\scriptstyle {\times }$B në sistemin koordinativ xOy elementet e tij (a, b) trajtohen si pika, ku a quhet abshisa, kurse b ordinata e pikës. Kështu p.sh.:

• (1) Në sistemin koordinativ xOy pikat e zeza paraqesin grafin e prodhimit kartezian {1, 2, 3} $\scriptstyle {\times }$ {2, 3, 4, 5}  ; ndërsa

• (2) Në sistemin koordinativ xOy fusha e hijesuar paraqet grafin e prodhimit kartezian të bashkësive A$\scriptstyle {=}${x$\scriptstyle \mid$a<x<b} dhe B$\scriptstyle {=}${y$\scriptstyle \mid$c<y<d}.

Prodhimi kartezian i n-bashkësive

Prodhimi kartezian i tri bashkësive A, B, C përkufizohet me këtë relacion :

A $\scriptstyle {\times }$ B $\scriptstyle {\times }$ C {(a, b, c)$\scriptstyle \mid$a $\scriptstyle \in$ A, b$\scriptstyle \in$B, c$\scriptstyle \in$C}. (...20)

Formulimi

A₁$\scriptstyle {\times }$A₁$\scriptstyle {\times }$A₃$\scriptstyle {\times }$ . . . $\scriptstyle {\times }$A_n$\scriptstyle {=}$$\prod _{i=1}^{n}$A_k.

Simboli

Prodhimi kartezian i n bashkësive A₁, A₂ , A₃ , . . . , A_n shënohet me simnbolin $\prod _{i=1}^{n}$A_k (lexo : pi Ak , k prej 1 deri në n).

Vetitë

Ligji distributiv ndaj unionit

Të vërtetohet relacioni

A $\scriptstyle {\times }$ (B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C)

që shpreh ligjin distributiv të prodhimit kartezian ndaj unionit.

       V ë r t e t i m : Skema e vërtetimit:

• (1) Vërtetohet se A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C),

• (2) Vërtetohet se (A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C)A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C) ; dhe

• (3) Nxirret konkluzioni se A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C).

Le të supozojmë se (a, b) është cilido element i bashkësisë A $\scriptstyle {\times }$ (B$\scriptstyle {\cup }$C), nga marrim këto ekuivalenca:

(a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)	$\scriptstyle \Leftrightarrow$	(a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B$\scriptstyle {\cup }$C)
	$\scriptstyle \Leftrightarrow$	{a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B $\scriptstyle \lor$ b$\scriptstyle \in$C)
	$\scriptstyle \Leftrightarrow$	(a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$B) $\scriptstyle \lor$ (a$\scriptstyle \in$A, b$\scriptstyle \in$C)
	$\scriptstyle \Leftrightarrow$	(a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$B $\scriptstyle \lor$ (a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$C
	$\scriptstyle \Leftrightarrow$	(a, b)$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C).

Meqë ekuivalenca

(a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle \Leftrightarrow$(a, b)$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C)

vlen për secilën dyshe të renditur të bashkësisë A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C), pra :

($\scriptstyle {\forall }$(a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)) (a, b)$\scriptstyle \in$A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C}$\scriptstyle \Leftrightarrow$(a, b)$\scriptstyle \in$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C)

konkludojmë se janë të sakta inkluzionet (1) dhe (2). Nga këto inkluzione, e në bazë të përkufizimit 2.1.3., marrim se

A$\scriptstyle {\times }$(B$\scriptstyle {\cup }$C)$\scriptstyle {=}$(A$\scriptstyle {\times }$B)$\scriptstyle {\cup }$(A$\scriptstyle {\times }$C),

çka duhej të vërtetohej .

---