Unaza, Trupi dhe Fusha

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha Kuptimi i tyre

       Krahas me grupin, tri struktura tjera të rëndësishme të matematikës bashkëkohore janë: unaza, trupi dhe fusha.

       P ë r k u f i z i m i  7.1. - Unazë quhet bashkësia jo e zbrazët A në të. cilën janë të përkufizuara dy veprime binare $\oplus$, $\odot$, të quajtura mbledhje dhe shumëzim, ku:

       (1) (A, $\oplus$) është grup abelian,

       (2) (A, $\odot$) është grupoid; dhe

       (3) shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.

       Unaza shënohet me simbolin (A, $\oplus$, $\odot$) .

       Kur ky përkufizim zbërthehet, del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me veprimet binare $\oplus$, $\odot$ quhet unazë, nëse plotësohen këto shtatë kushte:

       {c₁) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A)($\scriptstyle {\exists !}$c$\scriptstyle \in$A) a$\oplus$b$\scriptstyle {=}$c ;

       (c₂) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$ A) a $\oplus$b$\scriptstyle {=}$b $\oplus$a ;

       {c₃) ($\scriptstyle {\forall }$a, b, c $\scriptstyle \in$ A) (a $\oplus$ b) $\oplus$ c $\scriptstyle {=}$ a $\oplus$(b $\oplus$ c) ;

       (c₄) ($\scriptstyle {\exists !}$0$\scriptstyle \in$A) a$\oplus$0$\scriptstyle {=}$0$\oplus$a$\scriptstyle {=}$a$\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$A ;

       (c₅) ($\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$ A) ($\scriptstyle {\exists !}$ (-a)$\scriptstyle \in$ A) a $\oplus$ (-a)$\scriptstyle {=}$(-a) $\oplus$ a$\scriptstyle {=}$0 ;

       (c₆) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A)($\scriptstyle {\exists !}$c$\scriptstyle \in$A) a$\odot$b$\scriptstyle {=}$c ; dhe

       (c₇) ($\scriptstyle {\forall }$a,b,c$\scriptstyle \in$A) a$\odot$(b$\oplus$c)$\scriptstyle {=}$a$\odot$b$\oplus$a$\odot$c ,

        (b$\oplus$c)$\odot$a$\scriptstyle {=}$b$\odot$a$\oplus$c$\odot$a .

       Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të unazës. Siç shihet unaza (A, $\oplus$, $\odot$) lidhur me mbledhjen është grup aditiv abelian, ndërkaq lidhur me shumëzimin grupoid multiplikativ, ku njëherazi shumëzimi është distributiv (nga e majta dhe nga e djathta) ndaj mbledhjes.

       Unaza (A, $\oplus$, $\odot$) quhet asociative, nëse shumëzimi është asociativ: a $\odot$ (b $\odot$ c)$\scriptstyle {=}$(a $\odot$ b) $\odot$ c , ndërsa quhet komutative, nëse shumëzimi është komutativ: a $\odot$ b$\scriptstyle {=}$b $\odot$ a . Kur shumëzimi $\odot$ është asociativ dhe komutativ, (A, $\oplus$, $\odot$) quhet unazë asociative-komutative.

       P.sh.: ($\scriptstyle \mathbb {Z}$, +, .), ($\scriptstyle \mathbb {Q}$, +, .) dhe ($\scriptstyle \mathbb {R}$, +, .) janë unaza asociative-komutative, ndërsa ($\scriptstyle \mathbb {N}$, +, .) nuk është unazë.

       S h e m b u l l i  24. -  Të tregohet se bashkësia A$\scriptstyle {=}${0, 1, 2, 3, 4, 5} në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin sipas modulit 6 është unazë asociative-komutative.

       Z g j i d h j e : Meqenëse plotësohen kushtet:

       (1) (A, +₆) është grup aditiv,

       (2) (A, .₆) është semigrup,

       (3) Shumëzimi sipas modulit 6 është veprim distributiv ndaj mbledhjes sipas modulit 6, dhe

       (4) Shumëzimi sipas modulit 6 është komutativ,

andaj konkludojmë se (A, +₆,.₆) është unazë asociative-komutative.

       Nga aksiomat e unazës (c₁) - (c₇) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të unazës:

       V e t i a 1. - Në çdo unazë (A, $\oplus$, $\odot$) vlen kjo rregull e lirimit prej kllapave:

(a$\oplus$ b)$\odot$(c$\oplus$ d)$\scriptstyle {=}$a$\odot$c$\oplus$b$\odot$c$\oplus$a$\odot$d$\oplus$b$\odot$d.

       V e t i a 2. - Në secilën unazë (A, $\oplus$, $\odot$) ekziston veprimi i zbritjes, si veprim i kundërt i mbledhjes, meqë unaza është grup abelian lidhur me mbledhjen.

       V e t i a 3. - Në secilën unazë (A, $\oplus$, $\odot$) shumëzimi është veprim distributiv ndaj zbritjes, pra:

($\scriptstyle {\forall }$a, b, c$\scriptstyle \in$A)

a $\odot$ (b-c)$\scriptstyle {=}$a $\odot$ b-a $\odot$ c, (b-c) $\odot$ a$\scriptstyle {=}$b $\odot$ a-c $\odot$ a.

       V e t i a 4. - Kur njëri prej faktorëve të shumëzimit të unazës (A, $\oplus$, $\odot$) është i barabartë me zero, atëherë edhe prodhimi është zero, d.m.th.:

($\scriptstyle {\forall }$a $\scriptstyle \in$ A) a $\odot$ 0$\scriptstyle {=}$0 $\odot$ a$\scriptstyle {=}$0 .

       V e t i a 5. - Në çdo unazë (A, $\oplus$, $\odot$) për shumëzimin vlejnë këto rregulla për parashenja:

       (1) (-a) $\odot$ b$\scriptstyle {=}$ -a $\odot$b, (2) a $\odot$ (-b)$\scriptstyle {=}$ -a $\odot$b, (3) (-a) $\odot$ (-b)$\scriptstyle {=}$a $\odot$ b.

       V e t i a 6. - Asnjë unazë (A, $\oplus$, $\odot$) nuk e përmban elementin invers për zeron (0$\scriptstyle \in$A) lidhur me shumëzimin.

       Sipas kësaj vetie del se unaza (A, $\oplus$, $\odot$) asnjëherë nuk mund të jetë grup lidhur me shumëzimin, meqenëse për elementin 0 nuk ekziston elementi invers. Mirëpo, nëse bashkësia e të gjitha elementeve jo të barabarta me zero të unazës është grup lidhur me shumëzimin, unaza e tillë quhet trup. Pra:

       P ë r k u f i z i m i  7.2. - Unaza asociative (A, $\oplus$, $\odot$) quhet trup, nëse (A₁, $\odot$) është grup, ku A₁$\scriptstyle {=}$A\{0} .

       P ë r k u f i z i m i  7.3. - Trupi (A, $\oplus$, $\odot$) quhet fushë, nëse shumëzimi është veprim komutativ.

       Pra, në fushën (A, $\oplus$, $\odot$) të dy veprimet $\oplus$, $\odot$ janë komutative.

       Kur këto dy përkufizime zbërthehen del se bashkësia jo e zbrazët A lidhur me dy veprime binare $\oplus$, $\odot$ quhet trup, respektivisht fushë, kur sistemit të kushteve (c₁) - (c⁷) i shtohen edhe tri, respektivisht katër kushte:

       (c₈) ($\scriptstyle {\forall }$a, c $\scriptstyle \in$ A) a $\odot$ (b $\odot$ c)$\scriptstyle {=}$(a $\odot$ b) $\odot$ c ;

       (c₉) ($\scriptstyle {\exists !}$e$\scriptstyle \in$A) a$\odot$e$\scriptstyle {=}$e$\odot$a$\scriptstyle {=}$a, $\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$A :

       (c₁₀) ($\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$A, a$\scriptstyle {\neq }$0)($\scriptstyle {\exists !}$a^-1$\scriptstyle \in$A) a$\odot$a^-1$\scriptstyle {=}$a^-1$\odot$a$\scriptstyle {=}$e ;

       (c₁₁) ($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$ A) a $\odot$ b$\scriptstyle {=}$b $\odot$ a .

       Kushtet (c₁) - (c_1o), (c₁) - (c₁₁) formojnë sistemin e aksiomave të trupit, përkatësisht të fushës.

       P.sh.: ($\scriptstyle \mathbb {Q}$,+,•) dhe ($\scriptstyle \mathbb {R}$, +,•) janë fusha, ndërsa ($\scriptstyle \mathbb {Z}$, +,•) nuk është fushë, sepse ($\scriptstyle \mathbb {Z}$,•) nuk është grup.

---