Pasqyrimet

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Kuptimi i tyre Pasqyrimet MBI dhe NË‎ Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Pasqyrimi invers‎ Shumëzimi i pasqyrimeve Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Për pasqyrimin e bashkësisë A në bashkësinë B është karakteristike që secilit element x $\scriptstyle \in$ A i shoqërohet pikërisht një element y $\scriptstyle \in$ B. Për këtë arsye thuhet se grafet (a) dhe (b) në fig. 1.11. paraqesin pasqyrime (funksione), ndërsa grafet (c) dhe (d) nuk paraqesinë pasgyrime, meqë në dy raste të fundit bashkësia A përmban edhe elemente të atilla, të cilave u shoqërohen dy e më shumë elemente të bashkësisë B.

Përkufizimi

Relacioni ρ ndërmjet dy bashkësive A, B quhet pasqyrim (rifigurim, relacion funksional, funksion) i bashkësisë A në bashkësinë B, nëse ka këtë veti :

($\scriptstyle {\forall }$x $\scriptstyle \in$ A) ($\scriptstyle {\exists !}$y$\scriptstyle \in$B) (x, y) $\scriptstyle \in$ ρ .

Fig. 1.11.

Origjinali dhe transformati

Kur bashkësia A pasqyrohet në bashkësinë B, elementi x $\scriptstyle \in$ A quhet origjinali (zanafilla, fytyra), kurse elementi y $\scriptstyle \in$ B që i shoqërohet x-it quhet transformati (figura, përfytyrimi) i tij.

Simboli

Për shënimin e pasgyrimit të bashkësisë A në bashkësinë B, në vend të simbolit ρ , zakonisht shfrytëzohen simbolet : f, g, h, φ, ψ, etj. Andaj, pasqyrimi i bashkësisë A, në bashkësinë B në mënyrë simbolike shënohet

f :A→B ose f :X→y$\scriptstyle {=}$f(x), $\scriptstyle {\forall }$x$\scriptstyle \in$A.

ku në formulën e fundit theksohet se elementit x $\scriptstyle \in$ A i shoqërohet transformati y $\scriptstyle \in$ B sipas ligjit (rregullës, marrëveshjes) f. Në matematikë ligji f zakonisht jepet me anë të formulës ose në mënyrë analitike. P.sh. : pasgyrimi f:$\scriptstyle \mathbb {N}$→$\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$ shprehet me formulën f(x)$\scriptstyle {=}$2x, x$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$  ; pasqyrimi g : $\scriptstyle \mathbb {R}$→$\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ me formulën g(x)$\scriptstyle {=}$e^x, x $\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$ ; pasqyrimi h:$\scriptstyle \mathbb {R}$⁺→$\scriptstyle \mathbb {R}$ me formulën h(x)$\scriptstyle {=}$ln x, x $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ etj. Mirëpo, në disa raste, sidomos kur është fjala për bashkësitë e fundme, pasqyrimi f :A-B simbolikisht shënohet me : $f={\begin{Bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots \\y_{1}&y_{2}&y_{3}&\ldots \\\end{Bmatrix}}$ respektivisht $f={\begin{Bmatrix}\ldots &x&\ldots \\\ldots &f(x)&\ldots \\\end{Bmatrix}}$

ose me anë të tabelës $f:{\begin{array}{c|c|c|c|c}x&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots \\\hline y&y_{1}&y_{2}&y_{3}&\ldots \\\end{array}}$

ku në rreshtin e parë janë elementet e bashkësisë A, në të dytin transformatet e tyre. Për shembull, pasqyrimi f:A→B, ku A$\scriptstyle {=}${1,2,3,4,5,6}, B$\scriptstyle {=}${a,b,c,d} është dhënë me $f={\begin{Bmatrix}1&2&3&4&5&6\\a&c&b&b&d&a\end{Bmatrix}}$

Pra, meqë me pasqyrimin f:A→B kuptojmë çdo nënbashkësi të prodhimit kartezian A $\scriptstyle {\times }$ B me vetinë që

($\scriptstyle {\forall }$x $\scriptstyle \in$ A) ($\scriptstyle {\exists !}$y $\scriptstyle \in$ B) (x, y) $\scriptstyle \in$ f

Përcaktimi i pasqyrimit

pasqyrimi f përcaktohet me bashkësinë

f $\scriptstyle {=}$ { ( x,y $\scriptstyle \mid$ x $\scriptstyle \in$ A, y $\scriptstyle \in$ B, y $\scriptstyle {=}$ f ( x ) } .

Transformime

Pasqyrimi f : A→A , ku bashkësia A pasgyrohet në vetvetën, quhet transformimi i bashkësisë A . Në gjeometri shpesh kemi të bëjmë me këto transformime: simetria boshtore, simetria qendrore, translacioni, rotacioni të cilat quhen transformime gjeometrike .

Variablat dhe funksionet numerike

Në pasqyrimin ( relacionin funksional ) f : A→B , ku A dhe B janë bashkësi numerike, elementet e bashkësisë A quhen argument ose variabël ose ndryshore të pavarura, ndërsa elementet e bashkësisë B ndryshore të varura ose funksione. Në ato raste thuhet se f ( x ) është funksion numerik i argumentit ( variablit, ndryshores së pavarur ) x dhe shënohet y $\scriptstyle {=}$ f ( x ) ku vetë elementi x quhet vlera e argumentit, kurse elementi y vlera e funksionit . Bashkësia e të gjitha vlerave të argumentit x quhet zona e përkuftzimit apo e përcaktimit të funksionit ose domeni i funksionit dhe rëndom shënohet me X , kurse bashkësia e të gjitha vlerave të y quhet zona e ndryshimit të funksionit ose kodomeni i funksionit dhe rëndom shënohet me Y . P.sh., domeni i funksionit y $\scriptstyle {=}$ e^x është $\scriptstyle \mathbb {R}$ e kodomeni $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ .

---