Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :

PërkufizimiRedakto

Semigrupi (A,   ) që ka elementin neutral quhet grup, nëse për secilin element a   A ekziston elementi invers a-1   A.[1]

Sistemi i aksiomave të grupitRedakto

Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët   lidhur me veprimin binar   është grup, nëse plotësohen këto kushte :

(a1) Bashkësia   është e mbyllur lidhur me veprimin binar   , pra:
  ;
(a2) Veprimi binar   është asociativ, pra :
  ;
(a3) Në bashkësinë   ekziston elementi neutral për veprimin binar   , pra :
  ; dhe
(a4) Për secilin element   ekziston elementi invers   ashtu që :
  .

Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.

Llojet e grupitRedakto

Nëse veprimi binar   është komutativ,   quhet grup komutativ ose abelian[2]. Kur veprimi binar është mbledhje ose shumëzim,   , respektivisht   quhet grup aditiv, respektivisht grup multiplikativ. Grupi aditiv është gjithmonë abelian.

P.sh. grupe aditive janë :   , ndërkaq grupe multiplikative janë :   ku   . Të gjitha këto grupe janë abeliane, sepse edhe mbledhja edhe shumëzimi janë veprime komutative në bashkësitë numerike.

Grupi aditiv dhe multiplikativRedakto

P.sh.: Të tregohet se bashkësia   në lidhje me mbledhjen sipas   është grup aditiv   , kurse bashkësia   në lidhje me shumëzimin, sipas   , është grup multiplikativ   .

Zgjidhje: Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas   , respektivisht   duket kështu:  

Nga këto tabela shihet se:

(1)   është grup aditiv, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me mbledhjen sipas  :

 

(2)   është grup multiplikativ, ku për secilin element ekziston elementi invers në lidhje me shumëzimin sipas   :

 

Veprimet në grupRedakto

Në përgjithësi, kur në grupin   :

- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit   përdoret simboli   , atëherë   quhet grup aditiv ; ndërsa kur
- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit   përdoret simboli   , atëherë   quhet grup multiplikativ.

Për grupin aditiv (A,   ) elementi neutral shënohet me 0 , kurse elementi invers (i kundërt) me - a .

       S h e m b u l l i  20. -  - Të tregohet se bashkësia   në lidhje me veprimin   të përkufizuar me formulën :
 
është grup (A,   ) .
       Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A në lidhje me veprimin e përkufizuar i plotëson të katër aksiomat e grupit, pra :


(a1)  


(a2)  
(a3)   dhe
(a4)  

konkludojmë se   është grup aditiv.

Grupi i fundëm dhe i pafundëmRedakto

Grupi   quhet i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia   a është fundme apo e pafundme.

PërkufizimiRedakto

Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a   A , i tillë që me përsëritjen e veprimit   a riprodhohen të gjitha elementet e bashkësisë A.[3]

Elementi përlindësRedakto

       Elementi i tillë a quhet përlindëse e grupit (A,  ).
       S h e m b u l l i  21 -  Grupi (A, •), ku A     është grup ciklik me dy përlindëse:  dhe  .Vërtet:   etj.

Vetitë e grupitRedakto

Prej aksiomave (a1) - (a4) mund të nxjerrim këto veti të rëndësishme të grupit:

Vetia e elementit inversRedakto

       V e t i a 1.-Nëse në grupin (A,  ) a-1 është element invers i elementit a, edhe elementi a është invers për elementin a-1 , d.m.th. (a-1)-1  a.

Kjo veti për grupin aditiv (A,  ) ka këtë trajtë: -(-a) a.

Vetia e rrënjësRedakto

       V e t i a 2.- Në grupin (A,  ) secili barazim

(1) a x b,2) y a b

ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x   a-1   b, kurse për barazimin (2) trajtën y   b   a-1 .

       Për grupin aditiv abelian {{mate|(A,  ) barazimet
a   x b dhe y   a b
kanë një zgjidhje të përbashkët: x y (-a)   b b   (-a) b-a.

Vetit e implikuacioneveRedakto

       V e t i a 3.- Në grupin (A,  ) vlejnë këto implikacione:
a   b   a c  b c,
b a c a  b   c.
       Në grupin aditiv abelian (A,  ) vlen implikacioni
a   b a   c  b c.

Vetia e vlerfshmëris së barazimitRedakto

       V e t i a 4.- Në secilin grup (A,  ) vlen barazia:
(a b)-1 b-1 a-1 .

Në grupin aditiv abelian (A,  ) kjo veti shprehet me formulën:

-(a   b) (-a)   (-b).

Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupitRedakto

       Le të jenë (A,  ), (B,   ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A,   ) dhe (B,   ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A,  ) në grupin (B,   ) , nëse (fig. 1.17.):
( a, b   A) h (a   b)   h (a)   h (b) .(...51)
       Kur h (A) B, h quhet homomorfizëm i grupit (A,  ) mbi grupin (B,  ) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
Fig. 1.18. Fig. 1.17.
       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A,  ) dhe (B,  ), atëherë kemi:
h (a)   h (a   e)   h (a)   h (e)   h (e)   e',
h (a)   h (e   a)   h (e)   h (a)
çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A,  ) është element neutral i grupit (B,  ).
       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h1 është homomorfizëm i (A,  1) (B,  2) dhe h2 homomorfizëm i (B,  2) (C,  3), shumëzimi h2  h1 është homomorfizëm i (A,  1) (C,  3).
       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
       
(1) ( a, b A) h1 (a 1 b)
.
 h1(a) 2 h1(b)
 a' 2 b', ku a'   h 1 (a), b' h1 (b);
       
(2) ( a', b'  B) h2 (a' 2 b')  h2(a') 3 h2 (b')
 h2 [h1(a)]  3 h2 [h1 (b)]
 (h2  h1) (a)  3 (h2   h1) (b)
.
       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
       
( a, b  A) (h2   h1) (a  1 b)  h2 [h1 (a  1 b)]
 h2 [h1 (a) 2 h1 (b)]
 h2 [h1 (a)  3 h2 h1 (b)]
  (h2   h 1) (a)  3 (h2   h1) (b)
dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
       Homomorfizmi injektiv i grupit (A,  ) në grupin (B,  ) quhet izomorfizëm i (A,  ) (B,  ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A,  ) mbi (B,  ) quhet izomorfizëm i (A,  ) mbi (B,  ) dhe thuhet se grupet (A,  ) , (B,  ) janë izomorfe ndërmjet tyre.
       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
Fig. 1.20.
       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A,  1) mbi grupin (B,  2) dhe i2 izomorfizëm i (B,  2) mbi (C,  3) , shumëzimi i2   i1 është izomorfizëm i grupit (A,  1) mbi grupin (C,  3) .
       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet ( +, .), ( , +) dhe h: +→  pasqyrimin e  +   që përcaktohet me formulën:
h:x→y  log x,  x  + .
       Meqë vlen:
( x1, x2    +) log (x1 • x2)  log x1 +log x2 ,
themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Fig. 1.19.


  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).