Grupi është një strukturë shumë e rëndësishme e matematikës bashkëkohore. Grupet kanë aplikime të shumta si në matematikë, ashtu edhe në lëmenjtë tjerë shkencorë. Struktura e grupit përkufizohet në këtë mënyrë :
redakto
Kur ky përkufizim zbërthehet del se bashkësia jo e zbrazët
A
{\displaystyle A}
∘
{\displaystyle \circ }
(a1 ) Bashkësia
A
{\displaystyle A}
∘
{\displaystyle \circ }
(
∀
a
,
b
∈
A
)
(
∃
!
c
∈
A
)
a
∘
b
=
c
{\displaystyle (\forall a,b\in A)(\exists !c\in A)a\circ b=c}
(a2 ) Veprimi binar
∘
{\displaystyle \circ }
(
∀
a
,
b
,
c
∈
A
)
(
a
∘
b
)
∘
c
=
a
∘
(
b
∘
c
)
{\displaystyle (\forall a,b,c\in A)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}
(a3 ) Në bashkësinë
A
{\displaystyle A}
∘
{\displaystyle \circ }
(
∃
!
e
∈
A
)
(
∀
a
∈
A
)
a
∘
e
=
e
∘
a
=
a
{\displaystyle (\exists !e\in A)(\forall a\in A)a\circ e=e\circ a=a}
(a4 ) Për secilin element
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
−
1
∈
A
{\displaystyle a^{-1}\in A}
a
∘
a
1
=
a
−
1
∘
a
=
e
{\displaystyle a\circ a^{1}=a^{-1}\circ a=e}
Këto kushte formojnë sistemin e aksiomave të grupit.
Nëse veprimi binar
∘
{\displaystyle \circ }
(
A
,
∘
)
{\displaystyle (A,\circ )\!}
komutativ ose abelian [ 2]
(
A
,
+
)
{\displaystyle (A,+)\!}
(
A
,
⋅
)
{\displaystyle (A,\cdot )\!}
aditiv , respektivisht grup multiplikativ . Grupi aditiv është gjithmonë abelian.
P.sh. grupe aditive janë :
(
Q
,
+
)
,
(
R
,
+
)
,
(
R
∖
Q
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,+)}
(
Q
∖
{
0
}
,
⋅
)
,
(
R
∖
{
0
}
,
⋅
)
,
(
A
,
⋅
)
{\displaystyle (\mathbb {Q} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace ,\cdot ),(\mathbb {R} \setminus \left\lbrace 0\right\rbrace ,\cdot ),(A,\cdot )}
A
=
{
−
1
,
1
,
−
i
,
i
}
{\displaystyle A=\left\lbrace -1,1,-i,i\right\rbrace \!}
Grupi aditiv dhe multiplikativ
redakto
P.sh.: Të tregohet se bashkësia
A
=
{
0
,
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle A=\left\lbrace 0,1,2,3,4\right\rbrace }
m
o
d
u
l
i
t
5
{\displaystyle \mathrm {modulit} \ 5\!}
(
A
,
+
5
)
{\displaystyle (A,+_{5})\!}
B
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle B=\left\lbrace 1,2,3,4,5,6\right\rbrace }
m
o
d
u
l
i
t
7
{\displaystyle \mathrm {modulit} \ 7\!}
(
B
,
⋅
7
)
{\displaystyle (B,\cdot _{7})\!}
Zgjidhje : Tabela e mbledhjes dhe e shumëzimit sipas
m
o
d
u
l
i
t
5
{\displaystyle \mathrm {modulit} \ 5\!}
7
{\displaystyle 7\!}
+
5
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
1
2
3
4
0
2
2
3
4
0
1
3
3
4
0
1
2
4
4
0
1
2
3
+
7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
3
4
5
6
1
3
3
4
5
6
1
2
4
4
5
6
1
2
3
5
5
6
1
2
3
4
6
6
1
2
3
4
5
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccccccc}+_{5}&0&1&2&3&4\\\hline 0&0&1&2&3&4\\1&1&2&3&4&0\\2&2&3&4&0&1\\3&3&4&0&1&2\\4&4&0&1&2&3\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|cccccccc}+_{7}&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&1&2&3&4&5&6\\2&2&3&4&5&6&1\\3&3&4&5&6&1&2\\4&4&5&6&1&2&3\\5&5&6&1&2&3&4\\6&6&1&2&3&4&5\\\end{array}}}
Nga këto tabela shihet se:
(1)
(
A
,
+
5
)
{\displaystyle (A,+_{5})\!}
m
o
d
u
l
i
t
5
{\displaystyle \mathrm {modulit} \ 5\!}
E
l
e
m
e
n
t
i
0
1
2
3
4
E
l
e
m
.
i
k
u
n
d
e
¨
r
t
4
3
2
1
0
{\displaystyle {\begin{array}{l|cccccccc}\mathrm {Elementi} &0&1&2&3&4\\\hline \mathrm {Elem.\ i\ kund{\ddot {e}}rt} &4&3&2&1&0\end{array}}}
(2)
(
B
,
⋅
7
)
{\displaystyle (B,\cdot _{7})}
m
o
d
u
l
i
t
7
{\displaystyle \mathrm {modulit} \ 7\!}
E
l
e
m
e
n
t
i
1
2
3
4
5
6
E
l
e
m
.
i
n
v
e
r
s
1
4
5
2
3
6
{\displaystyle {\begin{array}{l|cccccccc}\mathrm {Elementi} &1&2&3&4&5&6\\\hline \mathrm {Elem.\ invers} &1&4&5&2&3&6\end{array}}}
Në përgjithësi, kur në grupin
(
A
,
∘
)
{\displaystyle (A,\circ )}
- veprimi binar quhet mbledhje dhe në vend të simbolit
∘
{\displaystyle \circ }
⊕
{\displaystyle \oplus }
(
A
,
⊕
)
{\displaystyle (A,\oplus )}
grup aditiv ; ndërsa kur
- veprimi binar quhet shumëzim dhe në vend të simbolit
∘
{\displaystyle \circ }
⊙
{\displaystyle \odot }
(
A
,
⊙
)
{\displaystyle (A,\odot )}
grup multiplikativ . Për grupin aditiv (A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
0 - a
S h e m b u l l i 20. - - Të tregohet se bashkësia
A
=
(
a
,
b
)
|
a
∈
Z
,
b
∈
Z
{\displaystyle A=(a,b)|a\in \mathbb {Z} ,\ b\in \mathbb {Z} }
⊕
{\displaystyle \oplus }
(
a
,
b
)
⊕
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
{\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)}
është grup (A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
Z g j i d h j e : : Meqë bashkësia A
(a1 )
(
∀
(
a
,
b
)
,
(
c
,
d
)
∈
A
)
(
∃
!
(
e
,
f
)
∈
A
)
(
a
,
b
)
⊕
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
=
(
e
,
f
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}(\forall (a,b),\ (c,d)\in A)(\exists !\ (e,f)\in A)\\(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,\ b+d)=(e,f)\\\end{array}}}
(a2 )
(
∀
(
a
,
b
)
,
(
c
,
d
)
,
(
e
,
f
)
∈
A
)
(
a
,
b
)
⊕
[
(
c
,
d
)
⊕
(
e
,
f
)
]
=
(
a
,
b
)
⊕
(
c
+
e
,
d
+
f
)
=
(
a
+
c
+
e
,
b
+
d
+
f
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
⊕
(
e
,
f
)
=
[
(
a
,
b
)
⊕
(
c
,
d
)
⊕
(
e
,
f
)
]
{\displaystyle {\begin{array}{rl}(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A)&\\(a,b)\oplus [(c,d)\oplus (e,f)]&=(a,b)\oplus (c+e,d+f)\\&=(a+c+e,b+d+f)\\&=(a+c,b+d)\oplus (e,f)\\&=[(a,b)\oplus (c,d)\oplus (e,f)]\\\end{array}}}
(a3 )
(
∀
(
a
,
b
)
∈
A
)
(
∃
!
(
0
,
0
)
∈
A
)
(
a
,
b
)
⊕
(
0
,
0
)
=
(
0
,
0
)
⊕
(
a
,
b
)
=
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}(\forall (a,b)\in A)(\exists !\ (0,0)\in A)\\(a,b)\oplus (0,0)=(0,0)\oplus (a,b)=(a,b)\\\end{array}}}
(a4 )
(
∀
(
a
,
b
)
∈
A
)
(
∃
!
(
−
a
,
−
b
)
∈
A
)
(
a
,
b
)
⊕
(
−
a
,
−
b
)
=
(
−
a
,
−
b
)
⊕
(
a
,
b
)
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle {\begin{array}{l}(\forall (a,b)\in A)(\exists !\ (-a,-b)\in A)\\(a,b)\oplus (-a,-b)=(-a,-b)\oplus (a,b)=(0,0)\\\end{array}}}
konkludojmë se
(
A
,
⊕
)
{\displaystyle (A,\oplus )}
redakto
Grupi
(
A
,
⊕
)
{\displaystyle (A,\oplus )}
i fundëm ose i pafundëm varësisht prej faktit se bashkësia
A
{\displaystyle A}
Grupi i fundëm abelian quhet grup ciklik nëse ekziston ndonjë elemetit a
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
∘
{\displaystyle \circ }
a A [ 3]
Elementi i tillë a përlindëse e grupit (A,
∘
{\displaystyle \circ }
S h e m b u l l i 21 - Grupi (A, •) A
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
{
1
,
−
1
+
i
3
2
,
−
1
−
i
3
2
{\displaystyle {\Big \{}\scriptstyle {1,}\textstyle {{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}}
}
{\displaystyle {\Big \}}}
−
1
+
i
3
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}
−
1
−
i
3
2
{\displaystyle \textstyle {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}
(
−
1
+
i
3
2
)
2
=
−
1
−
i
3
2
,
(
−
1
+
i
3
2
)
3
=
1
,
(
−
1
+
i
3
2
)
4
=
−
1
+
i
3
2
,
{\displaystyle {\Big (}\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{2}=\textstyle {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}},{\Big (}\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{3}=1,{\Big (}\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}{\Big )}^{4}=\textstyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}
Prej aksiomave (a1 4
V e t i a 1.-Nëse në grupin (A,
∘
{\displaystyle \circ }
-1 a a a-1 (a-1 -1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
Kjo veti për grupin aditiv (A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
-(-a)
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
V e t i a 2.- Në grupin (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(1) a
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
y
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
ka nga një zgjidhje (rrënjë) të vetme e cila për barazimin (1) ka trajtën . x
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
-1
∘
{\displaystyle \circ }
y
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∘
{\displaystyle \circ }
-1
Për grupin aditiv abelian {{mate|(A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
a
⊕
{\displaystyle \oplus }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
y
⊕
{\displaystyle \oplus }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
kanë një zgjidhje të përbashkët: x
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
⊕
{\displaystyle \oplus }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
⊕
{\displaystyle \oplus }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
V e t i a 3.- Në grupin (A,
∘
{\displaystyle \circ }
a
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
⊕
{\displaystyle \oplus }
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
b
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∘
{\displaystyle \circ }
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
Në grupin aditiv abelian (A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
a
⊕
{\displaystyle \oplus }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
⊕
{\displaystyle \oplus }
⇒
{\displaystyle \scriptstyle {\Rightarrow }}
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
redakto
V e t i a 4.- Në secilin grup (A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
(a
∘
{\displaystyle \circ }
-1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
-1
∘
{\displaystyle \circ }
-1 Në grupin aditiv abelian (A,
⊕
{\displaystyle \oplus }
-(a
⊕
{\displaystyle \oplus }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
⊕
{\displaystyle \oplus }
Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit
redakto
Le të jenë (A,
∘
{\displaystyle \circ }
∗
{\displaystyle *}
h:A→B A B (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
homomorfe , kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
(
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∗
{\displaystyle *}
Kur h (A)
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
h homomorfizëm i grupit (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.). Fig. 1.18. Fig. 1.17. Nëse e e' (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
h (a)
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∗
{\displaystyle *}
}
{\displaystyle {\Big \}}}
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
h (a)
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∘
{\displaystyle \circ }
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∗
{\displaystyle *}
çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
T e o r e m a 6.1.1. - Nëse h1 (A,
∘
{\displaystyle \circ }
1 (B,
∘
{\displaystyle \circ }
2 2 (B,
∘
{\displaystyle \circ }
2 (C,
∘
{\displaystyle \circ }
3 h2
∘
{\displaystyle \circ }
1 (A,
∘
{\displaystyle \circ }
1 (C,
∘
{\displaystyle \circ }
3 V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
(1) (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
1
∘
{\displaystyle \circ }
1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
1
∘
{\displaystyle \circ }
2 1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∘
{\displaystyle \circ }
2 a'
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
1
(2) (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
2
∘
{\displaystyle \circ }
2
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2
∘
{\displaystyle \circ }
3 2
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2 1
∘
{\displaystyle \circ }
3 2 1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2
∘
{\displaystyle \circ }
1
∘
{\displaystyle \circ }
3 2
∘
{\displaystyle \circ }
1
Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
(
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
2
∘
{\displaystyle \circ }
1
∘
{\displaystyle \circ }
1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2 1
∘
{\displaystyle \circ }
1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2 1
∘
{\displaystyle \circ }
2 1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2 1
∘
{\displaystyle \circ }
3 2 1
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
2
∘
{\displaystyle \circ }
1
∘
{\displaystyle \circ }
3 2
∘
{\displaystyle \circ }
1
dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
Homomorfizmi injektiv i grupit (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
izomorfizëm i (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
h (A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
(A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
(A,
∘
{\displaystyle \circ }
(B,
∗
{\displaystyle *}
izomorfe ndërmjet tyre.
Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
Fig. 1.20. T e o r e m a 6.1.2. - Nëse i1 (A,
∘
{\displaystyle \circ }
1 (B,
∘
{\displaystyle \circ }
2 i2 (B,
∘
{\displaystyle \circ }
2 (C,
∘
{\displaystyle \circ }
3 i2
∘
{\displaystyle \circ }
1 (A,
∘
{\displaystyle \circ }
1 (C,
∘
{\displaystyle \circ }
3
Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo ! S h e m b u l l i 23. - Të shohim grupet (
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
h:
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
h:x→y
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
+ Meqë vlen: (
∀
{\displaystyle \scriptstyle {\forall }}
1 2
∈
{\displaystyle \scriptstyle \in }
R
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }
+ 1 2
=
{\displaystyle \scriptstyle {=}}
1 2 themi se (R+ h h Fig. 1.19.
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).↑ 14) Sipas emrit të matematikanit të shquar norvegjez Nils Henrik Abel (1802-1829) .
↑ Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}(\forall (a,b),\ (c,d),\ (e,f)\in A)&\\(a,b)\oplus [(c,d)\oplus (e,f)]&=(a,b)\oplus (c+e,d+f)\\&=(a+c+e,b+d+f)\\&=(a+c,b+d)\oplus (e,f)\\&=[(a,b)\oplus (c,d)\oplus (e,f)]\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c00d3fc328c205c9f4d1c66581015e1c9dbac89)
