Veprimet binare

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Kuptimi i tyre Ligjet e veprimeve binare‎ Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Në matematikë mësojmë një sërë veprimesh me objekte të ndryshme. Mësojmë për mbledhjen dhe shumëzimin e numrave, polinomeve, matricaveetj.; për unionin, prerjen, diferencën, prodhimin kartezian të bashkësive; për konjuksionin, disjunksionin, implikacionin e gjykimeve; për mbledhjen, zbritjen, prodhimin skalar dhe prodhimin vektorial të vektorëve etj. Shumë prej këtyre veprimeve mund të shqyrtohen nga një aspekt unik, duke u nisur nga kuptimi i përgjithshëm i veprimit binar në bashkësi i cili përkufizohet në këtë mënyrë:

Përkufizimi

Në bashkësinë jo të zbrazët A çdo pasqyrim i trajtës f:A² →A quhet veprim (operacion) binar.

Vetit

Pra, sipas këtij përkufizimi veprimi binar në bashkësinë A është pasqyrimi f me anën e të cilit çdo dyshes së renditur (a, b) të elementeve a, b të bashkësisë A i shoqërohet pikërisht një element c $\scriptstyle \in$ A , d.m.th.:

( $\scriptstyle {\forall }$ (a, b) $\scriptstyle \in$ A² , a $\scriptstyle \in$ A, b $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ c $\scriptstyle \in$ A) f:(a, b)→ c

ose

( $\scriptstyle {\forall }$ (a, b) $\scriptstyle \in$ A² , a $\scriptstyle \in$ A, b $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ c $\scriptstyle \in$ A) f (a, b) $\scriptstyle {=}$ c . (...44)

Simboli

Për shënimin e veprimit binar në një bashkësi numerike, zakonisht në vend të simbolit f shfrytëzohen simbolet : $\circ$ , $*$ , $\oplus$ , $\odot$ , $\scriptstyle \top$ , $\scriptstyle {\bot }$ etj. Kështu formula f:(a, b)→c , respektivisht f (a, b) $\scriptstyle {=}$ c rëndom shënohet a $\circ$ b $\scriptstyle {=}$ c (lexo a në veprim $\circ$ me b jep c), ku c është rezultati i veprimit $\circ$ me elementet a

dhe b . Mirëpo, në pjesë të ndryshme të matematikës shfrytëzohen edhe simbole të posaçme për veprime të caktuara binare.

Meqë për veprimin e përkufizuar binar $\circ$ në bashkësinë A vlen :

( $\scriptstyle {\forall }$ a, b $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ c $\scriptstyle \in$ A) a $\circ$ b $\scriptstyle {=}$ c (...45)

thuhet se $\circ$ është veprim i brendshëm (ligj intern) në bashkësinë A ose se bashkësia A është e mbyllur lidhur me veprimin $\circ$ .

---