Relacionet binare dhe vetitë e tyre

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë

Relacionet

Pasqyrimet
Veprimet binare
Grupi dhe nëngrupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.

Përkufizimi i relacionit binarRedakto

Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b   A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) a b (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .[1]

Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë A e lidh dy nga dy elemente të A-së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A2 , pra :

Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A2  A2).

VetitёRedakto

Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti .

Përkufizimi i refleksivitetitRedakto

Relacioni binar ρ A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën[2], pra :

( a A) aρa. (...21)

Relacioni binar ρ në A është relacion jo refleksiv, nëse

( a A) a a. (...22)

Për shembull :

  • Relacioni i plotpjesëtueshmërisë (   ) në bashkësinë   është relacion refleksiv, sepse ( n    ) n   n ;
  • Relacioni i barazisë ( ) në bashkësinë   është relacion refleksiv, sepse ( x   R) x   x ;
  • Relacioni binar është normal ( ) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion jo refleksiv, sepse ( p   D) p   p.

Përkufizimi i simetrisëRedakto

Relacioni binar ρ A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a[3], pra:

( a, b A) a ρ b b ρ a (..23)

Relacioni binar ρ në A është asimetrik, nëse

( a, b A) aρb bρa a b. (...24)

Për shembull:

  • Relacioni i paralelshmërisë (   ) në bashkësinë e planeve S është relacion simetrik, sepse
( α, β S) α β   β α
  • Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave në   është relacion simetrik, sepse
( m,n  ) (m,n) 1 (n,m) 1 ;
  • Relacioni binar nuk është më i madh ( ) në   është antisimetrik, sepse
(x, y  ) x y y x x y .

Përkufizimi i transitivitetitRedakto

Relacioni binar ρ A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc[4] , pra:

( a, b, c  A) aρb   bρc   aρc. (...5)

Relacioni binai ρ në A është relacion intransitiv, nëse

( a, b, c A) a ρ b b ρ c a ρ c. (...6)

Për shembull :

  • Relacioni i ngjashmërisë (~) në bashkësinë e figurave gjeometrike F është relacion transitiv, sepse
 (F1 , F2 , F3  F) F1~F2 F2~ F3  F1 ~ F3 ;
  • Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse
( x,y,z R) x>y y>Z x>z ;
  • Relacioni binar është normal ( ) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion intransitiv, sepse
( p, q, r   D) p q q r   p r.

  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).