Relacionet binare dhe vetitë e tyre

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Kuptimi i tyre Relacionet binare Relacioni i ekuivalencës Relacioni i renditjes Relacionet ndërmjet dy bashkësive Pasqyrimet Veprimet binare Grupi dhe nëngrupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Kur me relacionin ρ shfaqen raporte ndërmjet dy nga dy elementeve të të njëjtës bashkësi, relacioni i tillë quhet relacion binar.

Përkufizimi i relacionit binar

Në bashkësinë jo të zbrazët A është përkufizuar relacioni binar ρ në qoftë se për çdo dy elemente a, b $\scriptstyle \in$ A është përcaktuar njëra nga vetitë : (1) aρb ose (2) a$\scriptstyle {\bar {\rho }}$b (lexo : a nuk është në relacion ρ me b) .

Meqë relacioni binar ρ në bashkësinë A e lidh dy nga dy elemente të A-së, andaj ai përkufizohet edhe si nënbashkësi e katrorit kartezian A² , pra :

Relacion binar ρ quhet çdo nënbashkësi e A² (ρ A²).

Vetitё

Vetitë më të rëndësishme të relacioneve binare janë : refleksiviteti, simetria dhe transitiviteti .

Përkufizimi i refleksivitetit

Relacioni binar ρ në A është relacion refleksiv, nëse secili element i A-së është në relacionin ρ me vetvetën, pra :

($\scriptstyle {\forall }$a$\scriptstyle \in$A) aρa. (...21)

Relacioni binar ρ në A është relacion jo refleksiv, nëse

($\scriptstyle {\exists }$a$\scriptstyle \in$A) a$\scriptstyle {\bar {\rho }}$a. (...22)

Për shembull :

• Relacioni i plotpjesëtueshmërisë ( $\vdots$ ) në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {N}$ është relacion refleksiv, sepse ($\scriptstyle {\forall }$n $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {N}$) n $\vdots$ n ;
• Relacioni i barazisë ($\scriptstyle {=}$) në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {R}$ është relacion refleksiv, sepse ($\scriptstyle {\forall }$x $\scriptstyle \in$ R) x $\scriptstyle {=}$ x ;
• Relacioni binar është normal ($\scriptstyle {\bot }$) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion jo refleksiv, sepse ($\scriptstyle {\exists }$p $\scriptstyle \in$ D) p $\textstyle {\not \perp }$ p.

Përkufizimi i simetrisë

Relacioni binar ρ në A është relacion simetrik, nëse nga raporti a ρ b rrjedh b ρ a, pra:

($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A) a ρ b$\scriptstyle {\Rightarrow }$b ρ a (..23)

Relacioni binar ρ në A është asimetrik, nëse

($\scriptstyle {\forall }$a, b$\scriptstyle \in$A) aρb$\scriptstyle \land$bρa$\scriptstyle {\Rightarrow }$a$\scriptstyle {=}$b. (...24)

Për shembull:

• Relacioni i paralelshmërisë ( $\scriptstyle {\|}$ ) në bashkësinë e planeve S është relacion simetrik, sepse

($\scriptstyle {\forall }$α, β$\scriptstyle \in$S) α$\scriptstyle {\|}$β $\scriptstyle {\Rightarrow }$ β$\scriptstyle {\|}$α

• Relacioni i thjeshtësisë relative të dy numrave në $\scriptstyle \mathbb {N}$ është relacion simetrik, sepse

($\scriptstyle {\forall }$m,n$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {N}$) (m,n)$\scriptstyle {=}$1$\scriptstyle {\Rightarrow }$(n,m)$\scriptstyle {=}$1 ;

• Relacioni binar nuk është më i madh () në $\scriptstyle \mathbb {R}$ është antisimetrik, sepse

(x, y$\scriptstyle \in$$\scriptstyle \mathbb {R}$) xy$\scriptstyle \land$yx$\scriptstyle {\Rightarrow }$x$\scriptstyle {=}$y .

Përkufizimi i transitivitetit

Relacioni binar ρ në A është relacion transitiv, nëse nga raportet aρb, bρc rrjedh aρc , pra:

($\scriptstyle {\forall }$a, b, c $\scriptstyle \in$A) aρb $\scriptstyle \land$ bρc $\scriptstyle {=}$ aρc. (...5)

Relacioni binai ρ në A është relacion intransitiv, nëse

($\scriptstyle {\exists }$a, b, c$\scriptstyle \in$A) a ρ b$\scriptstyle \land$b ρ c$\scriptstyle {\not \Rightarrow }$a ρ c. (...6)

Për shembull :

• Relacioni i ngjashmërisë (~) në bashkësinë e figurave gjeometrike F është relacion transitiv, sepse

$\scriptstyle {\forall }$(F₁ , F₂ , F₃$\scriptstyle \in$ F) F₁~F₂$\scriptstyle \land$F₂~ F₃$\scriptstyle {=}$ F₁ ~ F₃ ;

• Relacioni binar është më i madh (>) në R, është relacion transitiv, sepse

($\scriptstyle {\forall }$x,y,z$\scriptstyle \in$R) x>y$\scriptstyle \land$y>Z$\scriptstyle {\Rightarrow }$x>z ;

• Relacioni binar është normal ($\scriptstyle {\bot }$) në bashkësinë e drejtëzave D është relacion intransitiv, sepse

($\scriptstyle {\forall }$p, q, r $\scriptstyle \in$ D) p$\scriptstyle {\bot }$q$\scriptstyle \land$q$\scriptstyle {\bot }$r $\scriptstyle {\not \Rightarrow }$ p$\scriptstyle {\bot }$r.

---