Pasqyrimi invers

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Kuptimi i tyre Pasqyrimet MBI dhe NË‎ Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Pasqyrimi invers‎ Shumëzimi i pasqyrimeve Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Pasqyrimin f : A→B e bashkësisë A në bashkësinë B zakonisht e shprehim me formulën f : x→y $\scriptstyle {=}$ f(x), $\scriptstyle {\forall }$ x $\scriptstyle \in$ A . Mirëpo, nëse dëshirojmë që bashkësinë B ta pasqyrojmë në bashkësinë A , në pajtim me përkufizimin 4.1.1., shtrohet çështja e ekzistimit të një pasqyrimi të këtillë dhe shfaqet problemi i mundësisë që nga funksioni i dhënë f të formohet një funksion tjetër g , i tillë që secilit y $\scriptstyle \in$ B t'i shogërojë pikërisht një transformat x $\scriptstyle \in$ A , pra të vlejë  : g  : y→x $\scriptstyle {=}$ g (y), $\scriptstyle {\forall }$ y $\scriptstyle \in$ B . Ky funksion x $\scriptstyle {=}$ g (y) , nëse ekziston, quhet funksion invers i funksionit y $\scriptstyle {=}$ f(x) . Kuptohet pasqyrimi y  : B→A do të ekzistojë, nëse vlen  :

( $\scriptstyle {\forall }$ y $\scriptstyle \in$ B) ( $\scriptstyle {\exists !}$ x $\scriptstyle \in$ A) g : y→x $\scriptstyle {=}$ g (y) . (...37)

D.m.th. për funksionin y $\scriptstyle {=}$ f(x) ekziston funksioni invërs x $\scriptstyle {=}$ g (y) , atëherë dhe vetëm atëherë, kur f është pasqyrim bijektiv. Në këtë rast pasqyrimet (funksionet) f dhe g quhen reciprokisht inverse. Pasqyrimi invers i pasqyrimit f zakonisht shënohet me f ^-1 .

        Andaj, për pasqyrimin bijektiv f ndërmjet bashkësive A, B vlen :

f : x→y $\scriptstyle {=}$ f(x) $\scriptstyle {\Rightarrow }$ f ^-1  : y→x $\scriptstyle {=}$ f ^-1 (y), (...38)

Fig. 1.15.

ku nëse x₁ $\scriptstyle {\neq }$ x₂ , atëherë y₁ $\scriptstyle {\neq }$ Y₂ dhe e anasjellta (fig. 1.15.).

Domeni dhe kodomeni

Meqë kushti i ekzistimit të funksionit invers f ^-1 për funksionin e dhënë f është që f të jetë një korrespondencë biunivoke ndërmjet bashkësive A , B , andaj konkludojmë:

(1) Domeni i f ^-1 është kodomen i f , kodomeni i , f ^-1 është domeni i f ,

(2) f {f^-1 (x)} $\scriptstyle {=}$ f^-1 {f (x)} $\scriptstyle {=}$ x  ;

(3) (f^-1 )^-1 $\scriptstyle {=}$ f .

Kur funksioni f jipet në mënyrë analitike y $\scriptstyle {=}$ f(x) , funksioni invers y $\scriptstyle {=}$ f^-1 (x) gjendet duke zgjidhur barazinë y $\scriptstyle {=}$ f(x) sipas x-it dhe duke zëvendësuar në formulën e fundit simbolet e ndryshoreve ndërmjet tyre.

Shembuj

Pasqyrimi f:A→B , ku A $\scriptstyle {=}$ {1,2,3,4,5} dhe B $\scriptstyle {=}$ {a, b, c, d, e} , është dhënë me: $f={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4&5\\b&d&a&c&e\\\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

Pasqyrimi invers f^-1 :B→A është: $f^{-1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b&c&d&e\\3&1&4&2&5\\\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

---

Pasgyrim i A→B , ku A $\scriptstyle {=}$ { 1, 2, 3, 4, 5} dhe B $\scriptstyle {=}$ {2, 5, 8, 11, 14} , është dhënë me formulën f (x) $\scriptstyle {=}$ 3x - 1 .

Pasqyrimi invers f^-1 :B→A është :

y $\scriptstyle {=}$ 3x-1 $\scriptstyle {\Rightarrow }$ 3x $\scriptstyle {=}$ y+1 $\scriptstyle {\Rightarrow }$ x $\scriptstyle {=}$	y+1	, pra:
	3

f -1 :x→y $\scriptstyle {=}$	y+1	, ose f -1(x)$\scriptstyle {=}$	x+1
	3		3

---

Pasqyrimi f: $\scriptstyle \mathbb {R}$ → $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ është dhënë me formulën y $\scriptstyle {=}$ e^x .

Pasqyrimi invers është f^-1 : $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ → $\scriptstyle \mathbb {R}$  :

y $\scriptstyle {=}$ e^x $\scriptstyle {\Rightarrow }$ ln y, pra : f^-1 :y→x $\scriptstyle {=}$ ln y ose f^-1 (x) $\scriptstyle {=}$ ln x .

Mund të konstatojmë se $\scriptstyle \mathbb {R}$ është domeni e $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ kodomeni i funksionit f(x) $\scriptstyle {=}$ e^x , ndërsa $\scriptstyle \mathbb {R}$⁺ domeni e $\scriptstyle \mathbb {R}$ kodomen i f^-1 (x) $\scriptstyle {=}$ ln x .

---