Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet

Pasqyrimet

Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Pasqyrimin f : A→B e bashkësisë A në bashkësinë B zakonisht e shprehim me formulën f : x→y f(x), x A . Mirëpo, nëse dëshirojmë që bashkësinë B ta pasqyrojmë në bashkësinë A , në pajtim me përkufizimin 4.1.1., shtrohet çështja e ekzistimit të një pasqyrimi të këtillë dhe shfaqet problemi i mundësisë që nga funksioni i dhënë f të formohet një funksion tjetër g , i tillë që secilit y B t'i shogërojë pikërisht një transformat x A , pra të vlejë  : g  : y→x g (y), y B . Ky funksion x g (y) , nëse ekziston, quhet funksion invers i funksionit y f(x) . Kuptohet pasqyrimi y  : B→A do të ekzistojë, nëse vlen  :

( y B) ( x A) g : y→x g (y) . (...37)

D.m.th. për funksionin y f(x) ekziston funksioni invërs x g (y) , atëherë dhe vetëm atëherë, kur f është pasqyrim bijektiv. Në këtë rast pasqyrimet (funksionet) f dhe g quhen reciprokisht inverse. Pasqyrimi invers i pasqyrimit f zakonisht shënohet me f -1 .

        Andaj, për pasqyrimin bijektiv f ndërmjet bashkësive A, B vlen :
f : x→y f(x) f -1  : y→x f -1 (y), (...38)
Pasqyrimi invers.PNG
Fig. 1.15.
 

ku nëse x1 x2 , atëherë y1 Y2 dhe e anasjellta (fig. 1.15.).

Domeni dhe kodomeniRedakto

Meqë kushti i ekzistimit të funksionit invers f -1 për funksionin e dhënë f është që f të jetë një korrespondencë biunivoke ndërmjet bashkësive A , B , andaj konkludojmë:

(1) Domeni i f -1 është kodomen i f , kodomeni i , f -1 është domeni i f ,
(2) f {f-1 (x)}   f-1 {f (x)}   x  ;
(3) (f-1 )-1   f .

Kur funksioni f jipet në mënyrë analitike y   f(x) , funksioni invers y   f-1 (x) gjendet duke zgjidhur barazinë y   f(x) sipas x-it dhe duke zëvendësuar në formulën e fundit simbolet e ndryshoreve ndërmjet tyre.

ShembujRedakto

Pasqyrimi f:A→B , ku A   {1,2,3,4,5} dhe B   {a, b, c, d, e} , është dhënë me:  

Pasqyrimi invers f-1 :B→A është:  


Pasgyrim i A→B , ku A   { 1, 2, 3, 4, 5} dhe B   {2, 5, 8, 11, 14} , është dhënë me formulën f (x)   3x - 1 .

Pasqyrimi invers f-1 :B→A është :

y   3x-1   3x   y+1   x   y+1 , pra:
3
f -1 :x→y   y+1 , ose f -1(x)  x+1
3 3



Pasqyrimi f:   + është dhënë me formulën y   ex .

Pasqyrimi invers është f-1 :  +   :

y   ex   ln y, pra : f-1 :y→x   ln y ose f-1 (x)   ln x .

Mund të konstatojmë se   është domeni e  + kodomeni i funksionit f(x)   ex , ndërsa  + domeni e   kodomen i f-1 (x)   ln x .