Shumëzimi i pasqyrimeve

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Gjykimet Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Kuptimi i tyre Pasqyrimet MBI dhe NË‎ Bashkësitë ekuipotente‎ Bashkësitë e fundme dhe pafundme‎ Pasqyrimi invers‎ Shumëzimi i pasqyrimeve Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jenë f:A→B, g:B→C dy pasqyrime. Me pasqyrimin f secilit element x $\scriptstyle \in$ A i shoqërohet pikërisht një element f(x) nga bashkësia B ,

Fig. 1.14.

kurse me pasgyrimin g këtij elementi i shoqërohet pikërisht një element g(f (x)) nga bashkësia C . Nëse, një pas një kryhen pasqyrimet f:A→B dhe g:B→C , atëherë në të vërtetë secilit element x $\scriptstyle \in$ A i shoqërohet pikërisht një element g ( f (x)) nga bashkësia C (fig. 1.16a, b). Ky pasqyrim i bashkësisë A në C quhet shumëzim (kompozim, superpozicion) i pasqyrimeve f dhe g i cili simbolikisht shënohet me g $\circ$ f ose g $*$ f ose g (f (x)) (lexo : shumëzimi i pasqyrimeve f dhe g). Pra, shumëzimi i funksioneve f, g përkufizohet me barazinë :

Fig. 1.16.

( $\scriptstyle {\forall }$ x $\scriptstyle \in$ A) ( $\scriptstyle {\exists !}$ z $\scriptstyle \in$ C) (g $\circ$ f) :x→z $\scriptstyle {=}$ g (f (x)). (...39)

        Siç shihet në shumëzimin g $\circ$ f renditja e të shkruarit dhe zbatimit të funksioneve f, g ka rëndësi, sepse rëndom prodhimi f $\circ$ g nuk ekziston, nuk ka kuptim.

Përkufizimi i shumëzimit

Të caktohet shumëzimi i pasqyrimeve f :A→B dhe g :B→C , ku A $\scriptstyle {=}$ {1, 2, 3, 4}, B $\scriptstyle {=}$ {a, b, c, d} , nëse është : $f={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\a&b&c&d\\\end{smallmatrix}}{\bigr )},\ g={\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b&c&d\\\alpha &\gamma &\delta &\beta \\\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

Zgjidhje : Prodhimi $g\circ f:A\rightarrow C$ është :

$(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(b)=\gamma$ ,

$(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(c)=\delta$ ,

$(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(a)=\alpha$ ,

$(g\circ f)(4)=g(f(4))=g(d)=\beta$ ,

pra :

$g\circ f={\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b&c&d\\\alpha &\gamma &\delta &\beta \\\end{smallmatrix}}{\bigr )}\circ {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\a&b&c&d\\\end{smallmatrix}}{\bigr )}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&2&3&4\\\alpha &\gamma &\delta &\beta \\\end{smallmatrix}}{\bigr )}$

Këtu shumëzimi f $\circ$ g nuk është i përkufizuar .

Veprimi jokomutative

Të caktohen shumëzimet (1) g $\circ$ f, (2) f $\circ$ g, (3) g^-1 $\circ$ g , ku f, g janë dy pasqyrime të dhëna me formulat :

$f(x)=x^{2}+2x-1$ dhe $g(x)=3x+2$ .

Zgjidhje :

(1) $(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^{2}+2x-1)=3(x2+2x-1)+2=3x2+6x-1$ ;

(2) $(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(3x+2)=(3x+2)^{2}+2(3x+2)-1=9x^{2}+18x+7$  ;

(3) Meqë $g^{-1}(x)={\frac {(x-2)}{3}},(g^{-1}\circ g)(x)=g^{-1}(3x+2)=x$

Siç shihet pra, edhe kur ekzistojnë dy shumëzime g $\circ$ f dhe f $\circ$ g të funksioneve f, g vlera e tyre varet nga renditja e pasqyrimeve . Prandaj, konkludojmë se shumëzimi i pasqyrimeve f, g është veprim jokomutativ :

g $\circ$ f $\scriptstyle {\neq }$ f $\circ$ g ose g (f (x)) $\scriptstyle {\neq }$ f (g (x)) . (...40)

Vetit

Nga relacioni përkufizues (39) dhe fig. 1.16. del se për shumëzimin e pasqyrimeve f, g vlen:

(g $\circ$ f)^-1 $\scriptstyle {=}$ f^-1 $\circ$ g^-1 . (...41)

sepse : (g $\circ$ f)^-1 : z→x $\scriptstyle {=}$ f ^-1 (g ^-1 (z)), $\scriptstyle {\forall }$ z $\scriptstyle \in$ C .

Pasqyrimi identik

Nëse f është pasqyrim bijektiv ndërmjet bashkësive A dhe B , shumëzimi i pasqyrimeve f ^-1 $\circ$ f paraqet pasqyrimin identik të bashkësisë A . Vërtet, ngase:

f:x→y $\scriptstyle {=}$ f (x), $\scriptstyle {\forall }$ x $\scriptstyle \in$ A dhe f^-1 :y→x $\scriptstyle {=}$ f^-1 (y), $\scriptstyle {\forall }$ y $\scriptstyle \in$ B ,

dhe

(f^-1 $\circ$ f) :x→x $\scriptstyle {=}$ x, $\scriptstyle {\forall }$ x $\scriptstyle \in$ A .(...42)

Teorema për n pasqyrime

Le të jenë f:A→B , g:B→C dhe h:C→D tri pasqyrime. Shumëzimi i pasqyrimeve f, g dhe h është veprim asociativ :

(h o g) $\circ$ f $\scriptstyle {=}$ h $\circ$ (g $\circ$f'). (...43)

Vërtetim : Transformojmë anën e djathtë të formulës (43) :

[h $\circ$ (g $\circ$ f )] (x) $\scriptstyle {=}$ h $\circ$ g (f (x)) $\scriptstyle {=}$ h (g (f (x))) $\scriptstyle {=}$ (h $\circ$ g) f (x)) [(h $\circ$ g) $\circ$ f] (x).

Relacioni i fundit vërteton pohimin e teoremës.