Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet

Pasqyrimet

Veprimet binare
Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jenë f:A→B, g:B→C dy pasqyrime. Me pasqyrimin f secilit element x A i shoqërohet pikërisht një element f(x) nga bashkësia B ,

  Shumëzimi i pasqyrimeve.PNG
Fig. 1.14.

kurse me pasgyrimin g këtij elementi i shoqërohet pikërisht një element g(f (x)) nga bashkësia C . Nëse, një pas një kryhen pasqyrimet f:A→B dhe g:B→C , atëherë në të vërtetë secilit element x A i shoqërohet pikërisht një element g ( f (x)) nga bashkësia C (fig. 1.16a, b). Ky pasqyrim i bashkësisë A C quhet shumëzim (kompozim, superpozicion) i pasqyrimeve f dhe g i cili simbolikisht shënohet me g f ose g f ose g (f (x)) (lexo : shumëzimi i pasqyrimeve f dhe g). Pra, shumëzimi i funksioneve f, g përkufizohet me barazinë :

Mbledhja dhe shumëzimi i pasqyrimeve.PNG
Fig. 1.16.
 
( x A) ( z C) (g f) :x→z g (f (x)). (...39)
        Siç shihet në shumëzimin g f renditja e të shkruarit dhe zbatimit të funksioneve f, g ka rëndësi, sepse rëndom prodhimi f g nuk ekziston, nuk ka kuptim.


Përkufizimi i shumëzimitRedakto

Të caktohet shumëzimi i pasqyrimeve f :A→B dhe g :B→C , ku A   {1, 2, 3, 4}, B   {a, b, c, d} , nëse është :  

Zgjidhje : Prodhimi   është :

  ,
  ,
  ,
  ,

pra :

 

Këtu shumëzimi f   g nuk është i përkufizuar .

Veprimi jokomutativeRedakto

Të caktohen shumëzimet (1) g   f, (2) f   g, (3) g-1   g , ku f, g janë dy pasqyrime të dhëna me formulat :

  dhe   .

Zgjidhje :

(1)   ;
(2)    ;
(3) Meqë  

Siç shihet pra, edhe kur ekzistojnë dy shumëzime g   f dhe f   g të funksioneve f, g vlera e tyre varet nga renditja e pasqyrimeve . Prandaj, konkludojmë se shumëzimi i pasqyrimeve f, g është veprim jokomutativ :

g   f   f   g ose g (f (x))   f (g (x)) . (...40)

VetitRedakto

Nga relacioni përkufizues (39) dhe fig. 1.16. del se për shumëzimin e pasqyrimeve f, g vlen:

(g   f)-1   f-1   g-1 . (...41)

sepse : (g   f)-1 : z→x   f -1 (g -1 (z)),   z   C .

Pasqyrimi identikRedakto

Nëse f është pasqyrim bijektiv ndërmjet bashkësive A dhe B , shumëzimi i pasqyrimeve f -1   f paraqet pasqyrimin identik të bashkësisë A . Vërtet, ngase:

f:x→y   f (x),   x   A dhe f-1 :y→x   f-1 (y),   y   B ,

dhe

(f-1   f) :x→x   x,   x   A .(...42)

Teorema për n pasqyrimeRedakto

Le të jenë f:A→B , g:B→C dhe h:C→D tri pasqyrime. Shumëzimi i pasqyrimeve f, g dhe h është veprim asociativ :

(h o g)   f   h   (g  f'). (...43)

Vërtetim : Transformojmë anën e djathtë të formulës (43) :

[h   (g   f )] (x)   h   g (f (x))   h (g (f (x)))   (h   g) f (x)) [(h   g)   f] (x).

Relacioni i fundit vërteton pohimin e teoremës.