Veprimet me gjykime
Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
|
Shkalla UNI |
Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike Gjykimet Bashkësitë |
Gjykimet e përbëra rëndom formohen prej gjykimeve të thjeshta me ndihmen e fjalëve: „jo", „dhe", „ose", „nëse . . . , atëhere . . ." , „atëhere e vetëm atëherë" . Këto fjalë-shprehje quhen lidhëza logjike . Duke përdorur lidhëzat logjike në gjykime kryhen operacione apo veprime themelore logjike. Kuptohet se secili gjykim i ri që formohet prej gjykimeve të dhëna me anën e veprimeve themelore logjike e ka vlerën e vet të saktësisë. Saktësia e gjykimit të përftuar varet vetëm prej saktësisë së gjykimeve që atë e formojnë . Pikërisht kjo varësi shgyrtohet në algjebrën e gjykimeve, meqë asaj nuk i interesojnë përmbajtjet e gjykimeve të formuara, por vetëm vlera e saktësisë së tyre.
Duhet theksuar se me negacionin, konjuksionin dhe disjunksionin mund të lidhen në mes tyre dy gjykime çfarëdo, plotësisht të pavarura, kurse në implikacionin e gjykimeve vlera e saktësisë së gjykimit të parë mund të influencojë në vlerën e saktësisë së gjykimit tjetër.
Negacioni i gjykimit redakto
Veprimi më i thjeshtë logjik që përdoret në gjykime është negacioni (mohimi), të cilit, në gjuhën e zakonshme, i përgjigjet fjalëza „jo" (ose shprehja „nuk është" ).
Përkufizimi redakto
Negacioni i gjykimit quhet gjykimi (lexo : jo p ose nuk është p) i cili është i saktë, respektivisht jo i saktë kur gjykimi është jo i saktë, respektivisht i saktë.
Simboli redakto
Simboli është shenja e negacionit.
Tabela e saktësisë redakto
Sipas përkufizimit del se tabela e saktësisë së negacionit duket kështu:
Shembuj redakto
Le të jenë dhënë gjykimet :
.
Negacionet e tyre janë gjykimet :
,
e vlerat e saktësisë së tyre:
Vetitë redakto
Negacioni ( ) është një veprim unar në bashkësinë e gjykimeve, meqë me atë çdo gjykimi , me vlerë të caktuar të saktësisë, i shoqërohet gjykimi i përbërë me vlerë të kundërt të saktësisë . Në pajtim me këtë del se negacioni i gjykimit , d.m.th. ( është , andaj .
Ligji i negacionit të dyfishtë redakto
Pra, gjykimet i ( kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë. Gjykime të këtilla quhen ekuivalente dhe shënohen me simbolin e ekuivalencës :
Kjo formulë shpreh të ashtuquajturën ligj i negacionit të dyfishtë .
Konjuksioni i gjykimeve redakto
Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy (ose më shumë) gjykimeve çfarëdo me ndihmën e lidhëzëz „dhe", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet konjuksion.
Përkufizimi redakto
Konjuksioni i dy gjykimeve quhet gjykimi (lexo : p dhe q),i cili është i saktë kur janë të sakta të dy gjykimet .
Simboli redakto
Simboli është shenja e konjuksionit.
Tabela e saktësisë redakto
Tabela e saktësisë së konjuksionit duket kështu :
Meqë vlerat e saktësisë së gjykimeve mund të jenë ose , tabela e saktësisë së konjuksionit mund të shkruhet më shkurt kështu :
Shembuj redakto
- Le të jenë këto dy gjykime
: Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta ; dhe
: Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë paralele.
Konjuksioni i tyre do të jetë :
: Brinjët e kundërta të drejtkëndëshit janë të barabarta dhe paralele.
- Le të jenë gjykimet : p : (15,7) 1 dhe q :1 > - 2. Të formohet konjuksioni dhe të gjendet vlera e tij e saktesise.
, sepse dhe ...............................?
Vetitë redakto
Konjuksioni është një veprim binar, megë lidh dy gjykime dhe si rezultat jep një gjykim të tretë, konjuksionin e tyre.
Ligji i idempotencës dhe komutacionit redakto
Përkufizimi i konjuksionit të dy gjykimeve lehtë mund të zgjerohet edhe në rastin e gjykimeve . Prej përkufizimit të konjuksionit dalin këto dy ligje të rëndësishme të logjikës së gjykimeve:
, dhe
ligji i idempotencës dhe ai i komutacionit . Saktësinë e tyre e provojmë duke formuar tabelën e saktësisë për secilën formulë. P.sh. për të provuar ligjin e komutacionit formojmë këtë tabelë :
Vlerat e rrethuara në dy shtyllat e fundit të tabelës tregojnë se gjykimet kanë një vlerë të njëjtë të saktësisë, andaj themi se janë ekuivalente.
Disjunksioni i gjykimeve redakto
Kur gjykimi përbërë formohet prej dy gjykimeve çfarëdo me ndihëmen e lidhëzës „ose" thuhet se ajo lidhëz përcakton veprimin logjik që quhet disjunkston. Mirëpo, në gjuhën e zakonshme lidhëzja "ose" i ka dy kuptime - kuptimin inkluziv dhe atë eksluziv - , andaj duhet dalluar dy raste të posaçme të disjunksionit - disjunksionin e thjeshtë (zakonshëm, inkluziv) dhe disjunksionin ekskluziv (rigoroz). Lidhëzja "ose" perdoret në kuptimin inklu:ziv, kur nuk përjashtohet mundësia e saktësisë së njëkohshme e të dy gjykimeve, kurse ajo përdoret në kuptimin ekskluziv pikërisht kur përjashtohet ajo mundësi. Kështu b.f. në gjykimin e përbërë : "Trekëndëshi është kënddrejtë ose dybrinjënjëshëm", lidhëzja „ose" e ka kuptimin inkluziv, sepse trekëndëshi në fjalë në të vërtetë mund të jetë :
- a1 kënddrejtë e brinjëndryshëm,
- a2 këndpjerrët e dybrinjënjëshëm, ose
- a3 kënddrejtë e dybrinjënjëshëm.
Pra, këtu nuk përjashtohet mundësia që trekëndëshi në fjalë të jetë njëherit edhe kënddrejtë edhe i dybrinjënjëshëm . Ndërkaq, në gjykimin „Numri natyral është çift ose tek", lidhëzja ,,ose" ka kuptimin ekskluziv - këtu përjashtohet mundësia që numri në fjalë n të jetë njëherit edhe çift edhe tek. Pra, kuptimi ekskluziv i lidhëzës "ose" në të vërtetë e ka domethënien "ose . . . . . . ose".
Përkufizimi redakto
- P ë r k u f i z i m i 1.2.3.1. - Disjunksioni (inkluziv) i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p q (lexo : p ose q ). i cili është i saktë kur është i saktë së paku njëri nga gjykimet p, q.
Simboli redakto
Simboli është shenja e disjunksionit.
Tabela e saktësisë redakto
Tabela e saktësisë së disjunksionit duket kështu :
ose shkurt |
Shembuj redakto
- Të provohet barazia .
Barazinë e dhënë e provojmë duke formuar tabelën:
- Vlerat e rrethuara , në shtyllën e katërt dhe në atë të fundit të tabelës tregojnë se barazimi i dhënë është i saktë.
Vetitë redakto
Kuptohet, edhe disjunksioni është veprim binar, ku vlen ligji i idempotencës dhe i komutacionit:
.
Disjunksioni ekskuziv redakto
Përkufizimi redakto
Simboli redakto
Simboli është shenja e disjunkstonit ekskluziv.
Tabela e saktësisë redakto
Tabela e saktësisë është
ose shkurt |
Implikacioni i gjykimeve redakto
Kur gjykimi i përbërë formohet prej dy gjykimeve tjera me ndihmën e lidhëzës "nëse . . . , atëherë . . .", thuhet se ajo lidhëz e përcakton veprimin logjik që quhet implikacion. Gjykimi që pason pas fjalës "nëse" quhet supozim (hipotezë, premisë), ndërsa gjykimi pas fjalës "atëherë" quhet konkluzion (tezë, pasojë). Kuptohet, hipoteza është fundamenti në të cilën rëndom bazohet konkluzioni. Kështu është rasti, p .sh. në implikacionet :
- ;
- ;
- ;
- .
Përkufizimi redakto
- P ë r k u f i z i m i 1.2.4.1. - Implikacioni i dy gjykimeve p, q quhet gjykimi p q (lexo : nëse p, atëherë q ose nga p rrjedh q ose p implikon q), i cili është jo i saktë kur p është i saktë e q jo i saktë.
Simboli redakto
Simboli është shenja e implikacionit.
Tabela e saktësisë redakto
Tabela e saktësisë së implikacionit është:
ose shkurt |
Shembuj redakto
- Le të jenë gjykimet : dhe . Të caktohen saktësisë e implikacioneve :
Meqë do të kemi:
- Le të jenë p, q këto dy gjykime:
Implikacioni i tyre do të jetë :
: Nëse , atëherë .
Vetitë redakto
Kuptohet, këtu vlera e saktësisë së gjykimit varet prej saktësisë së gjykimit . Nga ky shembull mund të vërehet edhe fakti se implikacioni është një veprim binar jokumutativ, sepse në rastin e përgjithshëm
Për implikacionin , implikacioni quhet i anasjelltë.
Konsekuenca redakto
Rast i veçantë i implikacionit është konsekuenca - kur prej gjykimit logjikisht rrjedh gjykimi , i cili është i saktë vetëm kur është i saktë . Raste të këtilla paraqiten në mes të teoremave matematike dhe konsekuencave të tyre, sikurse edhe në mes të supozimeve të teoremave dhe konkludimeve të tyre. Në këto raste implikacioni lexohet edhe kështu : është kusht i mjaftueshëm për është kusht i nevojshëm për është rrjedhim i ; etj. Fakti se prej gjykimit logjikisht nuk rrjedh gjykimi , shënohet .
Shembuj redakto
Le të jetë gjykimi .
Si konsekuencë e gjykimit mund të nxirret gjykimi , d.m.th. :
.
Mirëpo, e anasjellta nuk vlen , sepse është vetëm kusht i nevojshëm (por jo i mjaftueshëm) për , pra :
.
Ekuivalenca e gjykimeve redakto
Kur gjykimi i përbërë formohet nga dy (ose më shumë) gjykime të tjera me ndihmën e fjalëve (shprehjeve) „nëse dhe vetëm nëse", „atëherë dhe vetëm atëherë", „e nevojshme dhe e mjaftueshme", thuhet se përcaktohet me veprimin e ekuivalencës.
Përkufizimi redakto
- P ë r k u f i z i m i 1.2.5.1. - Ekuivalenca e gjykimeve p, q quhet gjykimi p q (lexo : p ekuivalent q), i cili është i saktë kur të dy gjykimet p, q janë të sakta ose janë jo të sakta.
Simboli redakto
Simboli është shenja e ekuivalencës.
Tabela e saktësisë redakto
Tabela e saktësisë se ekuivalencës është :
ose shkurt |
Vetitë redakto
Kur krahasohen tabelat e saktësisë së implikacioneve dhe e ekuivalencës , lehtë mund të shihet ligji logjik, i cili shpreh lidhjen në mes këtyre gjykimeve:
- respektivisht del:
Pra, ekuivalenca në të vërtetë është implikacion i dyfishtë , andaj ajo është veprim binar komutativ.
Shembuj redakto
Nëse janë zerot e trinomit (d.m.th. , atëherë gjykimet dhe janë ekuivalente:
,
sepse : .