Ligjet e logjikës se gjykimeve

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike Gjykimet Gjykimet dhe llojet e gjykimeve Veprimet me gjykime Negacioni i gjykimit Konjuksioni i gjykimeve Disjunksioni i gjykimeve Implikacioni i gjykimeve Ekuivalenca e gjykimeve Ligjet e logjikës se gjykimeve Kuantifikatorët Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Rëndom në algjebër $p,q,r,\ldots$ quhen gjykime fillestare ose themelore . Kur në këto gjykime $p,q,r,\ldots$ veprojmë me veprime themelore logjike : $\lnot ,\land ,\vee ,\veebar ,\Rightarrow ,\Leftrightarrow$ marrim gjykime të përbëra të trajtave: $\lnot p$ , $p\land q$ , $p\vee q$ , $p\veebar q$ , $p\Rightarrow q$ , $p\Leftrightarrow q$ , $p\land \lnot q$ , $p\vee \lnot p$ , $(p\Rightarrow q)\land \lnot q\Rightarrow \lnot p$ , $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)$ , etj. të cilat quhen formula gjykimesh . Vlera e saktësisë së një formule gjykimesh provohet duke formuar tabelen e saktësisë së veprimeve themelore logjike.

Tautologjia

Formulat e gjykimeve të cilat janë të sakta për çdo vlerë të gjykimeve fillestare quhen tautologji ose ligje logjike. Kur ndonjë formulë gjykimesh është tautologji, para saj shënohet simboli .

Ligji i kontrapozicionit

Të provohet saktësia e formulës $(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot p\Rightarrow \lnot q),$ e cila shpreh ligjin e kontrapozicionit.

${\begin{array}{c|c||c|c|c||c||c}(p)&(q)&p\Rightarrow q&\lnot q&\lnot p&(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)\\\hline \top &\top &\oplus &\bot &\bot &\oplus &\oplus \\\top &\bot &\ominus &\top &\bot &\ominus &\oplus \\\bot &\top &\oplus &\bot &\top &\oplus &\oplus \\\bot &\bot &\oplus &\top &\top &\oplus &\oplus \\\end{array}}$

shihet se formula e dhënë është tautologji , d.m.th është e saktë për çdo vlerë të gykimeve fillestare.

Rregulla e silogjizmit

Të provohet tautologjia ${(p\Rightarrow q)}\land (q\Rightarrow r)(p\Rightarrow r)$, e cila shpreh ligjin logjik të quajtur rregulla e silogjizmit

Nga tabela e formuar:

${\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c||c}p&q&r&p\Rightarrow r&q\Rightarrow r&(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)&p\Rightarrow r&(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)\Rightarrow (p\Rightarrow r)\\\hline \top &\top &\top &\top &\top &\top &\top &\top \\\top &\top &\bot &\top &\bot &\bot &\bot &\top \\\top &\bot &\top &\bot &\top &\bot &\top &\top \\\top &\bot &\bot &\bot &\top &\bot &\bot &\top \\\bot &\top &\top &\top &\top &\top &\top &\top \\\bot &\top &\bot &\top &\bot &\bot &\top &\top \\\bot &\bot &\top &\top &\top &\top &\top &\top \\\bot &\bot &\bot &\top &\top &\top &\top &\top \\\end{array}}$

konkludohet se rregulla e silogjizmit është e saktë për çdo vlerë të gjykimeve fillestare, andaj ajo është tautologji .

Tautologji janë edhe formulat :

• (a₁) $(p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)$ ;
• (a₂) $(p\vee q)\vee r\Leftrightarrow p\vee (q\vee r)$ ;
• (a₃) $p\land (q\vee r)\Leftrightarrow (p\land q)\vee (p\land r)$ ;
• (a₄) $p\vee (q\land r)\Leftrightarrow (p\vee q)\land (p\vee r)$ ;

që shprehin ligjet se veprimet $\land$ , $\vee$ janë asocijative dhe ato janë distributive njëri ndaj tjetrit.

---