Rëndom në algjebër p , q , r , … {\displaystyle p,q,r,\ldots } quhen gjykime fillestare ose themelore .
Kur në këto gjykime p , q , r , … {\displaystyle p,q,r,\ldots } veprojmë me veprime themelore logjike : ¬ , ∧ , ∨ , ⊻ , ⇒ , ⇔ {\displaystyle \lnot ,\land ,\vee ,\veebar ,\Rightarrow ,\Leftrightarrow } marrim gjykime të përbëra të trajtave: ¬ p {\displaystyle \lnot p} , p ∧ q {\displaystyle p\land q} , p ∨ q {\displaystyle p\vee q} , p ⊻ q {\displaystyle p\veebar q} , p ⇒ q {\displaystyle p\Rightarrow q} , p ⇔ q {\displaystyle p\Leftrightarrow q} , p ∧ ¬ q {\displaystyle p\land \lnot q} , p ∨ ¬ p {\displaystyle p\vee \lnot p} , ( p ⇒ q ) ∧ ¬ q ⇒ ¬ p {\displaystyle (p\Rightarrow q)\land \lnot q\Rightarrow \lnot p} , ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬ q ⇒ ¬ p ) {\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)} , etj.
të cilat quhen formula gjykimesh . Vlera e saktësisë së një formule gjykimesh provohet duke formuar tabelen e saktësisë së veprimeve themelore logjike.
Formulat e gjykimeve të cilat janë të sakta për çdo vlerë të gjykimeve fillestare quhen tautologji ose ligje logjike . Kur ndonjë formulë gjykimesh është tautologji, para saj shënohet simboli .
Ligji i kontrapozicionit
redakto
Të provohet saktësia e formulës ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬ p ⇒ ¬ q ) , {\displaystyle (p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot p\Rightarrow \lnot q),} e cila shpreh ligjin e kontrapozicionit .
( p ) ( q ) p ⇒ q ¬ q ¬ p ( p ⇒ q ) ⇔ ( ¬ q ⇒ ¬ p ) ⊤ ⊤ ⊕ ⊥ ⊥ ⊕ ⊕ ⊤ ⊥ ⊖ ⊤ ⊥ ⊖ ⊕ ⊥ ⊤ ⊕ ⊥ ⊤ ⊕ ⊕ ⊥ ⊥ ⊕ ⊤ ⊤ ⊕ ⊕ {\displaystyle {\begin{array}{c|c||c|c|c||c||c}(p)&(q)&p\Rightarrow q&\lnot q&\lnot p&(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow (\lnot q\Rightarrow \lnot p)\\\hline \top &\top &\oplus &\bot &\bot &\oplus &\oplus \\\top &\bot &\ominus &\top &\bot &\ominus &\oplus \\\bot &\top &\oplus &\bot &\top &\oplus &\oplus \\\bot &\bot &\oplus &\top &\top &\oplus &\oplus \\\end{array}}}
shihet se formula e dhënë është tautologji , d.m.th është e saktë për çdo vlerë të gykimeve fillestare.
Rregulla e silogjizmit
redakto
Të provohet tautologjia ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ( p ⇒ r ) {\displaystyle {(p\Rightarrow q)}\land (q\Rightarrow r)(p\Rightarrow r)} , e cila shpreh ligjin logjik të quajtur rregulla e silogjizmit
Nga tabela e formuar:
p q r p ⇒ r q ⇒ r ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) p ⇒ r ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ r ) ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ ⊤ {\displaystyle {\begin{array}{c|c|c||c|c|c|c||c}p&q&r&p\Rightarrow r&q\Rightarrow r&(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)&p\Rightarrow r&(p\Rightarrow q)\land (q\Rightarrow r)\Rightarrow (p\Rightarrow r)\\\hline \top &\top &\top &\top &\top &\top &\top &\top \\\top &\top &\bot &\top &\bot &\bot &\bot &\top \\\top &\bot &\top &\bot &\top &\bot &\top &\top \\\top &\bot &\bot &\bot &\top &\bot &\bot &\top \\\bot &\top &\top &\top &\top &\top &\top &\top \\\bot &\top &\bot &\top &\bot &\bot &\top &\top \\\bot &\bot &\top &\top &\top &\top &\top &\top \\\bot &\bot &\bot &\top &\top &\top &\top &\top \\\end{array}}}
konkludohet se rregulla e silogjizmit është e saktë për çdo vlerë të gjykimeve fillestare, andaj ajo është tautologji .
Tautologji janë edhe formulat :
(a1 ) ( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r ) {\displaystyle (p\land q)\land r\Leftrightarrow p\land (q\land r)} ;
(a2 ) ( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) {\displaystyle (p\vee q)\vee r\Leftrightarrow p\vee (q\vee r)} ;
(a3 ) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) {\displaystyle p\land (q\vee r)\Leftrightarrow (p\land q)\vee (p\land r)} ;
(a4 ) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) {\displaystyle p\vee (q\land r)\Leftrightarrow (p\vee q)\land (p\vee r)} ; që shprehin ligjet se veprimet ∧ {\displaystyle \land } , ∨ {\displaystyle \vee } janë asocijative dhe ato janë distributive njëri ndaj tjetrit.