Kuantifikatorët

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër: Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI

Konceptet dhe simbolet e logjikës matematike Gjykimet Gjykimet dhe llojet e gjykimeve Veprimet me gjykime Negacioni i gjykimit Konjuksioni i gjykimeve Disjunksioni i gjykimeve Implikacioni i gjykimeve Ekuivalenca e gjykimeve Ligjet e logjikës se gjykimeve Kuantifikatorët Bashkësitë Relacionet Pasqyrimet Veprimet binare Grupi Unaza, Trupi dhe Fusha

Kemi përmendur se me metodën e zëvendësimit funksionet e gjykimeve $F_{1}(x),F_{2}(x,y),F_{3}(x,y,z),\ldots$ shndërrohen në gjykime . Mirëpo, tani do të shohim se ato shndërrohen në gjykime edhe duke përdorur kuantifikatorët $\forall$ dhe $\exists$ , të cilëve u përgjigjen fjalët "çdo" ("secili") dhe "ekziston" ("ndonjë" , "së paku një"). Simboli $\forall$ quhet kuantifikator universal (i përgjithshëm), ndërkaq $\exists$ kuantifikator i ekzistimit.

Të marrim, për shembull, këto funksione gjykimesh :

• (a₁) Çdo dy numra natyralë të njëpasnjëshëm janë relativisht të thjeshtë ;
• (a₁) Shuma e çdo dy numrave natyralë është numër natyral ;
• (a₁) Ndonjë numër natyral është zgjidhja e inekuacionit $2x+5<12$ ;
• (a₁) Për secilin numër të plotë mund të gjendet së paku një numër tjetër i plotë, ashtu që shuma a tyre të jetë $5$ .

Kur në këto funksione gjykimesh përdorim kunatifikatorët $\forall$ dhe $\exists$ ato marrin trajtën e formulave :

• (a₁) $(\forall x\in \mathbb {N} )\ (x,x+1)=1$ ;
• (a₁) $(\forall x\in \mathbb {N} )\ (\forall y\in \mathbb {N} )x+y\in \mathbb {N} \ {\text{ose}}\ (\forall x,y\in \mathbb {N} )\ x+y\in \mathbb {N}$ ;
• (a₁) $(\exists x\in \mathbb {N} )\ 2x+5<12$ ;
• (a₁) $(\forall x\in \mathbb {Z} )\ (\exists y\in \mathbb {Z} )x+y=5$ ;

të cilat në të vërtetë janë gjykime të sakta.

Prej këtyre shembujve mund të konkludojmë se në përgjithësi për të shndërruar funksionet e gjykimeve $F_{1}(x),F_{2}(x,y),F_{3}(x,y,z)$ në gjykime duhet të përdoren aq kuantifikatorë, sa variabla përmbajnë ato funksione. Kështu funksioni $F(x,y)$ shndërrohet në gjykim në këto raste :

• {1) $(\forall x,y)\ F(x,y)$ ;
• (2) $(\exists x)\ (\forall y)F(x,y)$ ;
• (3) $(\exists y)\ (\forall x)F(x,y)$ ;
• (4) $(\exists x,y)\ F(x,y)$.

Të përmendim se shpesh përdoret edhe një kuantifikator i posaçëm i ekzistimit - kuantifikatori i ekzistimit ekskluziv i cili shënohet me $\exists !$ dhe lexohet : ekziston vetëm një. Kështu p.sh . në gjykimet :

• (1) $(\exists !x\in \mathbb {N} )\ 2x+7<10$,
• (2) $(\forall x,y\in \mathbb {Z} )(\exists !z\in \mathbb {Z} )\ x+y+z=1$

posaçërisht theksohet se ekziston vetëm një numër natyral, respektivisht vetëm një numër i plotë i cili e plotëson relacionin përkatës, d.m.th. për të cilin formula përkatëse bëhet gjykim i saktë. E dimë se vlera e panjohurës $x$ për të cilën ekuacioni (barazimi) $f(x)=0$ , respektivisht inekuacioni (jobarazimi) $f(x)<0$ bëhet gjykim i saktë quhet zgjidhja (ose rrënja) e ekuacionit, respektivisht inekuacionit.

---