Homorfizmi dhe izomorfizmi i grupit

Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha


       Le të jenë (A, ), (B, ) dy grupe dhe h:A→B pasqyrimi bashkësisë i A në bashkësinë B. Thuhet se grupet (A, ) dhe (B, ) janë homomorfe, kurse pasqyrimi h homorfizëm i grupit (A, ) në grupin (B, ) , nëse (fig. 1.17.):
(a, b A) h (a b) h (a) h (b) .(...51)
       Kur h (A)B, h quhet homomorfizëm i grupit (A, ) mbi grupin (B, ) ose homomorfizëm surjektiv apo epimorfizëm (fig. 1.18.).
Fig. 1.18. Fig. 1.17.
       Nëse e dhe e' janë elementet neutrale të grupeve homomorfe (A, ) dhe (B, ), atëherë kemi:
h (a) h (a e) h (a) h (e) h (e) e',
h (a) h (e a) h (e) h (a)
çka do të thotë se transformati i elementit neutral të grupit (A, ) është element neutral i grupit (B, ).
       T e o r e m a  6.1.1. -  Nëse h1 është homomorfizëm i (A, 1) (B, 2) dhe h2 homomorfizëm i (B, 2) (C, 3), shumëzimi h2 h1 është homomorfizëm i (A, 1) (C, 3).
       V ë r t e t i m Nga hipotezat e teoremës kemi:
       
(1) (a, bA) h1 (a1 b)
.
h1(a)2 h1(b)
a'2 b', ku a' h 1 (a), b'h1 (b);
       
(2) (a', b' B) h2 (a'2 b') h2(a')3 h2 (b')
h2 [h1(a)] 3 h2 [h1 (b)]
(h2 h1) (a) 3 (h2 h1) (b)
.
       Duke shfrytëzuar këto formula marrim:
       
(a, b A) (h2 h1) (a 1 b) h2 [h1 (a 1 b)]
h2 [h1 (a)2 h1 (b)]
h2 [h1 (a) 3 h2 h1 (b)]
(h2 h 1) (a) 3 (h2 h1) (b)
dhe konkludojmë se teza e teoremës është e saktë.
       Homomorfizmi injektiv i grupit (A, ) në grupin (B, ) quhet izomorfizëm i (A, ) (B, ) (fig. 1.19.). Kur pasqyrimi h është bijektiv (fig. 1.20.), homomorfizmi i (A, ) mbi (B, ) quhet izomorfizëm i (A, ) mbi (B, ) dhe thuhet se grupet (A, ) , (B, ) janë izomorfe ndërmjet tyre.
       Të konstatojmë se dy grupe izomorfe mund të dallohen ndërmjet tyre në pikëpamje të natyrës së elementeve si dhe në emërtimin e në simbolet e veprimeve të përkufizuara në ato, mirëpo vetitë e atyre veprimeve janë të njëjta (identike). Prandaj, thuhet se grupet izomorfe kanë strukturë të njëjtë, përcaktojnë të njëjtin sistem abstrakt, por paragiten në interpretime të ndryshme.
Fig. 1.20.
       T e o r e m a  6.1.2. -  Nëse i1 është izomorfizëm i grupit (A, 1) mbi grupin (B, 2) dhe i2 izomorfizëm i (B, 2) mbi (C, 3) , shumëzimi i2 i1 është izomorfizëm i grupit (A, 1) mbi grupin (C, 3) .
       Kjo teoremë vërtetohet në mënyrë të ngjashme sikurse teorema e mëparshme. Provo !
       S h e m b u l l i  23. -  Të shohim grupet (+, .), (, +) dhe h:+→ pasqyrimin e + që përcaktohet me formulën:
h:x→y log x, x+ .
       Meqë vlen:
(x1, x2 +) log (x1 • x2) log x1 +log x2 ,
themi se (R+,.), (R, +) janë grupe homomorfe, kurse pasgyrimi h homomorfizëm. Mirëpo, meqë ky pasqyrim është bijektiv, grupet në fjalë janë izomorfe ndërmjet tyre dhe pasqyrimi h është izomorfizëm.

Fig. 1.19.