Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet
Veprimet binare

Grupi

Unaza, Trupi dhe Fusha

Le të jetë (A, ) grup.

PërkufizimiRedakto

Nënbashkësia jo e zbrazët A1 bashkësisë A quhet nëngrup i grupit (A,  ) në qoftë se A1 është grup lidhur me veprimin e përkufizuar   A dhe shënohet (A 1,  )   (A,  ).[1]

Nëngrupet triviale dhe jotrivialeRedakto

Secili grup (A,  ) përmban së paku dy nëngrupe - vetë grupin (A,  ) dhe nëngrupin ({e},  ), ku e është element neutral. Këto nëngrupe quhen nëngrupe triviale të grupit (A,  ). Nëse grupi (A,  ) përmban edhe nëngrupe tjera (Ak, k 1, 2, ... , n, ato quhen nëngrupe jotriviale (nëngrupe të vërteta) të grupit (A,  ) dhe shënohen (Ak,  ) < (A,  ).

       Që të jetë (A1 ,   < (A,  ) duhet të plotësohen këto tri kushte:
       (b1) A 1   A   e   A 1 , ku e është element neutral;
       (b2) (  a,b   A1)a   b   A1 dhe;
       (b3) (  a   A1)  a-1   A1 i tilllë që a   a-1   a-1   a   e .
       Saktësia e këtij pohimi rrjedh drejtpërdrejti nga përkufizimet 6.1. dhe 6.3.
       Për shembull:
       (1) (A1 ,< (A,  ) , ku A   { - 1, 1, - i, i}, A1   { -1, 1} , meqë plotësohen kushtet (b1) - (b3)  ;
       (2) (  ,, + )<( , +) , sepse
       (b1)       , 0      ;
       (b2) (  a, b    ) a + b     , dhe
       (b3) (  a    ) a-1   (-a)     ; i tillë që a+(-a)  0 ;
       (3) (A,.)<(  \{0},.) , ku A   {a+b   -   a     , b       a+b     0} ,
sepse:
       (b1) A     \.{0}, 1   A;
       (b2) (  a+b   , c + d     A) (a+b  ) (c+d  )  p+q     A ,
dhe
       (b3) (  a+b     A) a-1        r + s     A, i tillë
a • a-1   1 .
       S h e m b u l l i  22 -  Të tregohet se bashkësi A   {p1 , p2 , ... p6 } ku:
        p1    , p2    , p3    ,
       
        p4    , p5    , p6    ,
në lidhje me shumëzimin e pasqyrimeve   është grup (A,  ) . Të caktohen të gjitha nëngrupet jotriviale të grupit (A,  ) .
       Z g j i d h j e : Formojmë tabelën e shumëzimit të pasqyrimeve:
    p1   p2   p3   p4   p5   p6
   p1     p1   p2   p3   p4   p5   p6
   p2     p2   p3   p4   p5   p6   p1
   p3     p3   p4   p5   p6   p1   p2
   p4     p4   p5   p6   p1   p2   p3
   p5     p5   p6   p1   p2   p3   p4
   p6     p6   p1   p2   p3   p4   p5


       Nga kjo tabelë shihet se plotësohen të katër aksiomat e grupit, ku p1 është element neutral, kurse për secilin element të bashkësisë A ekziston elementi invers në lidhje me veprimin    :
       
Elementi    p1    p2    p3   p4    p5    p6
Elem. i invers    p1    p2    p3   p4    p5    p6
andaj (A,  ) është grup.
       Nëngrupet jotriviale të grupit (A,  ) janë: (A1,  ), (A2,  ), (A3,  ) dhe (A4,  ) ku: A1 {p1, p2}, A2 {p1, p3}, A3 {p1, p6} dhe A4 {p1, p4, p6 }

  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).