Jeni duke lexuar pjesë nga libri në punim e sipër:
Algjebra e përgjithëshme

Shkalla UNI
Gjykimet

Bashkësitë
Relacionet
Pasqyrimet

Veprimet binare

Grupi
Unaza, Trupi dhe Fusha

Ligjet themelore të veprimeve binare janë ligji komutativ, ligji asociativ dhe ligji distributiv .

Veprimi komutativRedakto

Në veprimet binare komutative rezultati i veprimit nuk varet prej rendit të elementeve, meqë „ a në veprim   me b " dhe „ b në veprim   me a " japin elementin e njëjtë c   A . Kështu, për shembull, veprime binare komutative janë : mbledhja dhe shumëzimi i numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, mbledhja e vektorëve etj., ndërkaq veprime jokumutative janë: prodhimi kartezian i bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve, prodhimi i matricave, prodhimi vektorial i vektorëve etj.

PërkufizimiRedakto

Veprimi binar   në bashkësinë A quhet komutativ, nëse vlen :

(   a, b   A) a   b   b   a .(...46)

[1]

Veprimi asociativRedakto

Te veprimet binare asociative rezultati i veprimit nuk varet prej mënyrës së vendosjes së kllapave (të cilat përcaktojnë rendin e kryerjes së veprimevet), nëse ruhet rendi i elementeve. Për shembull, veprime asociative janë : mbledhja dhe zbritja e numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve (funksioneve) etj . Veprime joasociative janë : prodhimi kartezian i bashkësive, prodhimi vektorial i vektorëve etj .

PërkufizimiRedakto

Veprimi binar   në bashkësinë A është asociativ, nëse vlen:

(   a, h, c   A) (a   b)   c   a   (h   c) . (...47)

[2]

Veprimi distributivRedakto

Në bashkësinë  , për shembull, shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes: a (b + c)   ab + ac , ndërkaq mbledhja nuk është distributiv ndaj shumëzimit : a + (bc)   (a + b) (a + c) . Unioni dhe prerja e bashkësive janë dy veprime reciprokisht distributive ndaj njëri-tjetrit.

PërkufizimiRedakto

Në bashkësinë A janë të përkufizuara dy veprime binare   dhe   . Veprimi   është distributiv ndaj veprimit   , nëse vlen :

(   a, b, c   A) a   (b   c)   (a   b)   (a   c) . (...48)

[3]

GrupoidiRedakto

Për shembull : (   , + ), (   , + ), (   , .), (   , + ), (   , .), (A, .) ku A   { -1, l } janë grupoide, ndërkaq: (   , + ), (   , - ), (A, +) ku A   { -1, 1 } nuk janë grupoide.

PërkufizimiRedakto

Bashkësia jo e zbrazët A në të cilën është i përkufizuar veprimi binar o quhet grupoid lidhur me atë veprim dhe shënohet me (A, o) .[4]

SemigrupiRedakto

P.sh. : (   , + ), (   , .), (   , + ), (A, .) ku A   { - 1, 1 - i, i}, i     janë semigrupe.

PërkufizimiRedakto

Grupoidi (A, o) quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar   është asociativ.[5]

Elementi neutralRedakto

Elementi neutral e quhet edhe element njësi. Në bashkësinë   elementi neutral për mbledhjen është 0 (zero), ndërkaq për shumëzimin është 1 . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët   . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik f :x→x   x,   x   A . Grupoidi (   , +) nuk ka elementin neutral.

PërkufizimiRedakto

Elementi e   A quhet element neutral për veprimin   në bashkësinë A, nëse vlen :

  a   A a   e   e   a   a (...49)

[6]

TeoremaRedakto

Nëse grupoidi (A,   ) përmban elementin neutral, ai është i vetmi.

VërtetimLe të supozojmë të kundërtën - se në (A,   ) ekzistojnë dy elemente neutrale e1 , e2 (el   e2 ) për veprimin binar   . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari e me e1 , a me e2 dhe së dyti e me e2 , a me el përftojmë :

e2   el   el   e2   el dhe el   e2   e2   el   el ,

prej kah rezulton se el   e2 . Pra, konkludojmë se grupoidi (A,   ) nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin o .

Elementi inversRedakto

P.sh., në semigrupin (   , +) me elementin neutral 0 , për cilindo element a     elementi invers është numri i kundërt (-a)     , ndërkaq në semigrupin (   , .) , përveç elementeve -1 dhe 1 , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin (   , .) me elementin neutral 1 , për cilindo element a   Q , elementi invers është numri reciprok      .

PërkufizimiRedakto

Kur semigrupi (A,   ) përmban elementin neutral e , elementi b   A quhet element invers i elementit a   A në lidhje me veprimin   , nëse vlen :

a   b   b   a   e . (...50)

[7]

SimboliRedakto

P.sh.,

        Elementi invers i elementit a rëndom shënohet me a-1 .

TeoremaRedakto

Nëse semigrupi (A,   ) për elementin a   A përmban elementin invers a-1   A , ai është i vetmi.

Vërtetim: Le të supozojmë të kundërtën - se b1 , b2 janë dy elemente inverse të elementit a   A . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari b me b1 , së dyti b me b2 përftojmë :

a   b1   b1   a   e dhe a   b2   b2   a   e .

Meqë a   b1   e dhe veprimi   është asociativ, kemi:

b2   (a   b1 )   b2 dhe b2   (a   b1 )   (b2   a)   b1   e   b1   b1

d.m.th. se b1   b2 , çka duhej vërtetuar.


  1. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  2. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  3. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  4. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  5. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  6. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).
  7. Matematika I dhe II i Entit të Teksteve dhe Mjeteve Mësimore të KSA të Kosovës, Fakulteti Teknik në Prishtinë (1979).