Ligjet e veprimeve binare

Iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Veprimi komutativ

Në veprimet binare komutative rezultati i veprimit nuk varet prej rendit të elementeve, meqë „ a në veprim $\circ$ me b " dhe „ b në veprim $\circ$ me a " japin elementin e njëjtë c $\scriptstyle \in$ A . Kështu, për shembull, veprime binare komutative janë : mbledhja dhe shumëzimi i numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, mbledhja e vektorëve etj., ndërkaq veprime jokumutative janë: prodhimi kartezian i bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve, prodhimi i matricave, prodhimi vektorial i vektorëve etj.

Përkufizimi

Veprimi binar $\circ$ në bashkësinë A quhet komutativ, nëse vlen :

( $\scriptstyle {\forall }$ a, b $\scriptstyle \in$ A) a $\circ$ b $\scriptstyle {=}$ b $\circ$ a .(...46)

Veprimi asociativ

Te veprimet binare asociative rezultati i veprimit nuk varet prej mënyrës së vendosjes së kllapave (të cilat përcaktojnë rendin e kryerjes së veprimevet), nëse ruhet rendi i elementeve. Për shembull, veprime asociative janë : mbledhja dhe zbritja e numrave, unioni dhe prerja e bashkësive, shumëzimi i pasqyrimeve (funksioneve) etj . Veprime joasociative janë : prodhimi kartezian i bashkësive, prodhimi vektorial i vektorëve etj .

Përkufizimi

Veprimi binar $\circ$ në bashkësinë A është asociativ, nëse vlen:

( $\scriptstyle {\forall }$ a, h, c $\scriptstyle \in$ A) (a $\circ$ b) $\circ$ c $\scriptstyle {=}$ a $\circ$ (h $\circ$ c) . (...47)

Veprimi distributiv

Në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {R}$, për shembull, shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes: a (b + c) $\scriptstyle {=}$ ab + ac , ndërkaq mbledhja nuk është distributiv ndaj shumëzimit : a + (bc) $\scriptstyle {\neq }$ (a + b) (a + c) . Unioni dhe prerja e bashkësive janë dy veprime reciprokisht distributive ndaj njëri-tjetrit.

Përkufizimi

Në bashkësinë A janë të përkufizuara dy veprime binare $\circ$ dhe $*$ . Veprimi $\circ$ është distributiv ndaj veprimit $*$ , nëse vlen :

( $\scriptstyle {\forall }$ a, b, c $\scriptstyle \in$ A) a $\circ$ (b $*$ c) $\scriptstyle {=}$ (a $\circ$ b) $*$ (a $\circ$ c) . (...48)

Grupoidi

Për shembull : ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , + ), ( $\scriptstyle {\mathbb {N} _{p}}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , .), ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , .), (A, .) ku A $\scriptstyle {=}$ { -1, l } janë grupoide, ndërkaq: ( $\scriptstyle {\mathbb {N} _{c}}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , - ), (A, +) ku A $\scriptstyle {=}$ { -1, 1 } nuk janë grupoide.

Përkufizimi

Bashkësia jo e zbrazët A në të cilën është i përkufizuar veprimi binar o quhet grupoid lidhur me atë veprim dhe shënohet me (A, o) .

Semigrupi

P.sh. : ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , + ), ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , .), ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , + ), (A, .) ku A $\scriptstyle {=}$ { - 1, 1 - i, i}, i $\scriptstyle {=}$ $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ janë semigrupe.

Përkufizimi

Grupoidi (A, o) quhet semigrup (monogrup) nëse veprimi binar $\circ$ është asociativ.

Elementi neutral

Elementi neutral e quhet edhe element njësi. Në bashkësinë $\scriptstyle \mathbb {R}$ elementi neutral për mbledhjen është 0 (zero), ndërkaq për shumëzimin është 1 . Elementi neutral për unionin e bashkësive është bashkësia e zbrazët $\scriptstyle {\varnothing }$ . Elementi neutral për shumëzimin e pasqyrimeve është pasqyrimi identik f :x→x $\scriptstyle {=}$ x, $\scriptstyle {\forall }$ x $\scriptstyle \in$ A . Grupoidi ( $\scriptstyle \mathbb {N}$ , +) nuk ka elementin neutral.

Përkufizimi

Elementi e $\scriptstyle \in$ A quhet element neutral për veprimin $\circ$ në bashkësinë A, nëse vlen :

$\scriptstyle {\forall }$ a $\scriptstyle \in$ A a $\circ$ e $\scriptstyle {=}$ e $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ a (...49)

Teorema

Nëse grupoidi (A, $\circ$ ) përmban elementin neutral, ai është i vetmi.

VërtetimLe të supozojmë të kundërtën - se në (A, $\circ$ ) ekzistojnë dy elemente neutrale e₁ , e₂ (e_l $\scriptstyle {\neq }$ e₂ ) për veprimin binar $\circ$ . Kur në formulën (49) e zëvendësojmë së pari e me e₁ , a me e₂ dhe së dyti e me e₂ , a me e_l përftojmë :

e₂ $\circ$ e_l $\scriptstyle {=}$ e_l $\circ$ e₂ $\scriptstyle {=}$ e_l dhe e_l $\circ$ e₂ $\scriptstyle {=}$ e₂ $\circ$ e_l $\scriptstyle {=}$ e_l ,

prej kah rezulton se e_l $\scriptstyle {=}$ e₂ . Pra, konkludojmë se grupoidi (A, $\circ$ ) nuk mund të përmbajë dy elemente neutrale për veprimin o .

Elementi invers

P.sh., në semigrupin ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , +) me elementin neutral 0 , për cilindo element a $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ elementi invers është numri i kundërt (-a) $\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , ndërkaq në semigrupin ( $\scriptstyle \mathbb {Z}$ , .) , përveç elementeve -1 dhe 1 , elementet tjera nuk kanë elementin e tyre invers. Në semigrupin ( $\scriptstyle \mathbb {Q}$ , .) me elementin neutral 1 , për cilindo element a $\scriptstyle \in$ Q , elementi invers është numri reciprok $\textstyle \mathrm {\frac {1}{a}}$$\scriptstyle \in$ $\scriptstyle \mathbb {Q}$ .

Përkufizimi

Kur semigrupi (A, $\circ$ ) përmban elementin neutral e , elementi b $\scriptstyle \in$ A quhet element invers i elementit a $\scriptstyle \in$ A në lidhje me veprimin $\circ$ , nëse vlen :

a $\circ$ b $\scriptstyle {=}$ b $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e . (...50)

Simboli

P.sh.,

        Elementi invers i elementit a rëndom shënohet me a^-1 .

Teorema

Nëse semigrupi (A, $\circ$ ) për elementin a $\scriptstyle \in$ A përmban elementin invers a^-1 $\scriptstyle \in$ A , ai është i vetmi.

Vërtetim: Le të supozojmë të kundërtën - se b₁ , b₂ janë dy elemente inverse të elementit a $\scriptstyle \in$ A . Kur në formulën (50) e zëvendësojmë së pari b me b₁ , së dyti b me b₂ përftojmë :

a $\circ$ b₁ $\scriptstyle {=}$ b₁ $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e dhe a $\circ$ b₂ $\scriptstyle {=}$ b₂ $\circ$ a $\scriptstyle {=}$ e .

Meqë a $\circ$ b₁ $\scriptstyle {=}$ e dhe veprimi $\circ$ është asociativ, kemi:

b₂ $\circ$ (a $\circ$ b₁ ) $\scriptstyle {=}$ b₂ dhe b₂ $\circ$ (a $\circ$ b₁ ) $\scriptstyle {=}$ (b₂ $\circ$ a) $\circ$ b₁ $\scriptstyle {=}$ e $\circ$ b₁ $\scriptstyle {=}$ b₁

d.m.th. se b₁ $\scriptstyle {=}$ b₂ , çka duhej vërtetuar.

---